広島大学の総合型選抜過去問解説｜数学科の絶対値・微分・積分を詳解【2027年度】

広島大学の2026年度光り輝き入試・総合型選抜Ⅱ型から、理学部数学科の筆記試験第1問を解説します。関数f(x)＝|x sin x|について、導関数、極大、微分できない点、定積分を考える問題です。この記事では、第1問の小問(1)～(4)を扱います。

要点は、絶対値を外せる区間を確かめ、計算結果が何を意味するかまで説明することです。 微分の公式を使うだけでなく、導関数の符号や左右の微分係数を根拠に論証します。

出典：広島大学公式・2026年度総合型・学校推薦型選抜の問題等、理学部数学科の実問題PDF、大学公表の出題意図。対象は問題PDF4ページの第1問です。数式と条件をTeXで整理し、以下の解答はスキルパスが作成しました。

第1問の実問題：f(x)＝|x sin x|

絶対値がある関数は、内側の式の符号によって表し方が変わります。ただし、すべての小問で同じ場合分けが必要なわけではありません。(1)(2)は0＜x＜πの範囲、(3)はπの左右、(4)は0からnπまでと、調べる区間を区別することが出発点です。

0＜x＜πでは、xもsin xも正です。そのためf(x)＝x sin xと書けます。積の微分を使うと、f'(x)＝sin x＋x cos xです。さらに微分すれば、f''(x)＝2 cos x－x sin xとなります。

2回目の微分では、sin xの微分からcos x、x cos xの微分からcos x－x sin xが出ます。cos xの項を一つ落とさないようにしましょう。

π/2での導関数は1、2π/3での導関数は√3/2－π/3です。後者は負です。例えばπ＞3と√3＜2を使えば、π/3＞1＞√3/2と分かります。

導関数は連続なので、両端の値の符号が異なることから、その間に導関数が0となる点があります。ただし、これだけでは極大であるとはまだ言えません。

π/2＜x＜2π/3ではcos x＜0、sin x＞0なので、2階導関数は負です。したがって導関数はこの区間で厳密に減少し、0を通る点で正から負へ変わります。元の関数は増加から減少へ変わるので、そこで極大になります。

f'(x)＝0となる点の存在と、その点が極大であることは、分けて示す必要があります。 この問題では、連続性と中間値の定理で存在を、導関数の単調性で符号変化を示せます。極大となる点を具体的な数値で求める必要はありません。

x＝πではsin π＝0なので、f(π)＝0です。πに近いところではx＞0ですが、sin xの符号はπを境に正から負へ変わります。したがって、πの左ではx sin x、右では－x sin xという別の式になります。

微分の定義に従い、xをπ＋hと置いて差商を作ります。sin(π＋h)＝－sin hを使うと、絶対値の中の符号を整理できます。hが正ならsin hも正、hが負ならsin hも負なので、絶対値の外し方が左右で変わります。

sin h/hが1に近づくことから、右からの微分係数はπ、左からは－πです。両者が一致しないため、x＝πでは微分できません。

f(π)＝0だから微分できないのではありません。また、この関数はπで連続です。連続であることと微分可能であることを混同せず、左右の傾きが一致しないことを根拠に結論を述べましょう。

0からnπの全体ではsin xの符号が変わります。そこで、0～π、π～2π、2π～3π……と、πごとの区間に分けます。xは0以上なので、各区間で考えるのはsin xの符号です。

整数kを0からn－1まで動かすと、kπから(k＋1)πの間のsin xの符号は、kが偶数なら正、奇数なら負です。この符号を(－1)のk乗で表せば、一つの式で計算できます。

x sin xの原始関数は－x cos x＋sin xです。上端と下端ではsinが0、cosが交互に1と－1になるため、絶対値を外す際の符号と合わせると、各区間の積分値は(2k＋1)πとなります。

最初の区間はπ、次は3π、その次は5πです。sin xの波形は繰り返しますが、xを掛けているため、それぞれの面積は同じではありません。

各区間の結果を足すと、πに1＋3＋5＋……＋(2n－1)を掛けたものになります。最初のn個の奇数の和はn²なので、答えはn²πです。

例えばn＝1ならπ、n＝2ならπ＋3π＝4πです。この確認は計算の点検にはなりますが、一般のnについての証明は、上の区間分割と和の計算が担っています。

sin xの周期性だけを見て「全体は最初の区間のn倍」としないことが大切です。 xの係数が増える効果まで含めて、区間ごとの面積を求めましょう。

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大学公表の出題意図でも、第1問は微分・積分の概念を理解して使えるか、極値や微分可能性を論証できるかを問う問題とされています。公式の暗記に加え、どの条件の下で使えるか、結論に必要な根拠がそろっているかを説明する準備が重要です。

数学の探究やコンテストへの挑戦でも、グラフから予想し、簡単な場合で確かめ、最後に一般的な証明を考える経験を積めます。理系の総合型・推薦は、こうした継続的な学びを志望理由や記述、口頭で伝えて挑戦できるチャンスです。

教科の基礎と実績づくり、記述の添削をつなげて準備しましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。志望理由書、探究の説明、数学の論証、口頭試問、面接まで、志望校と本人の経験に合わせて対策を支えます。