富山県立大学の推薦過去問解説｜数学の三角関数・ベクトル・接線と面積を全問詳解【2027年度】

富山県立大学の2026年度学校推薦型選抜、工学部・情報工学部の数学を全3題解説します。三角関数を係数に持つ方程式、円に内接する三角形のベクトル、三次曲線の共通接線と面積が出題されました。

二次の係数が0になる場合、ベクトルの長さが1という条件、面積の境界が切り替わる位置を、式にどう反映するかが要点です。 答えに至る途中式を省かず、条件の確かめ方も説明します。

出典：富山県立大学公式・過去の入試問題、2026年度学校推薦型選抜・数学問題PDF、公式出題意図・解答例。以下のTeX図と詳解はスキルパスが作成しました。

大問1・実問題：実数解がただ一つになるθをすべて求める

最初にcosθ＝0を調べる

二次方程式の実数解が一つなら判別式が0、とすぐ考えたくなります。しかし、原題のx²の係数はcosθです。これが0なら一次方程式になるため、先に分けます。

0≦θ＜2πでcosθ＝0となるのはθ＝π/2、3π/2です。

θ＝π/2ならsinθ＝1なので、√2x＋5/4＝0となり、x＝−5√2/8です。θ＝3π/2ならsinθ＝−1なので、−√2x＋5/4＝0となり、x＝5√2/8です。

どちらもxの係数は0ではなく、確かに実数解が一つあります。

cosθ≠0なら、判別式D＝0を使う

ここからは二次方程式です。判別式はD＝2sin²θ−4cosθ(−cosθ＋5/4)。sin²θ＝1−cos²θを代入して整理すると、D＝2cos²θ−5cosθ＋2となります。

因数分解するとD＝(2cosθ−1)(cosθ−2)。したがってD＝0からcosθ＝1/2または2です。

cosθの値域は−1以上1以下なので、2は不適です。cosθ＝1/2より、θ＝π/3、5π/3となります。

θと、対応する実数解xを組にして答える

二次方程式の重解はx＝−b/(2a)です。この問題ではx＝−√2sinθ/(2cosθ)なので、θ＝π/3でx＝−√6/2、θ＝5π/3でx＝√6/2となります。

答えはθが4通りです。 判別式の計算が合っていても、cosθ＝0の二つを調べなければ、すべて求めたことにはなりません。

大問2・実問題：ベクトル方程式と、半径1の条件を使う

問(1)：一つのベクトルを消して、長さの2乗を取る

OA、OB、OCの各位置ベクトルをa、b、cと書きます。三つの点は半径1の円上にあるので、|a|＝|b|＝|c|＝1です。

与えられた2a＋2b＋c＝0から、a＝−b−c/2となります。両辺の長さの2乗を取ると、1＝|b＋c/2|²＝1＋1/4＋b・cです。

したがって、b・c＝−1/4です。展開の交差項は2b・(c/2)＝b・cなので、係数2を残したままにしないようにしましょう。

問(2)：BCベクトルはc−b

辺BCの長さは|c−b|です。その2乗は|c|²＋|b|²−2b・cなので、1＋1−2(−1/4)＝5/2となります。

長さは正だから、BC＝√(5/2)＝√10/2です。半径1だから辺も1、というわけではありません。円の中心からの距離と、円周上の二点間の距離を分けます。

問(3)：Pを二通りのベクトルで表す

Pは直線BC上にあるので、OP＝(1−λ)b＋λcと表せます。また、直線OA上にもあるので、OP＝μaです。

a＝−b−c/2を代入すると、(1−λ)b＋λc＝−μb−(μ/2)c。bとcは平行ではないため係数を比較でき、1−λ＝−μ、λ＝−μ/2を得ます。

後の式からμ＝−2λ。前へ代入すると1−λ＝2λなので、λ＝1/3です。つまり、PはBからCへ全体の1/3だけ進んだ内分点です。

BP＝BC/3＝√10/6となります。

なお、μ＝−2/3なので、PはOから見てAと反対方向にあります。問題が指定するのは線分OA上ではなく直線OA上です。この違いを見落とすと、図から誤った位置を決めてしまいます。

大問3・実問題：二つの三次曲線に共通する接線

問(1)：接線の式を、接点の横座標で表す

C₁の式はy＝x³−xで、導関数は3x²−1です。横座標sでの接線は、y−(s³−s)＝(3s²−1)(x−s)。整理すると、y＝(3s²−1)x−2s³です。

C₂は下へ4a³だけ平行移動した曲線なので、導関数は同じです。横座標tでの接線はy＝(3t²−1)x−2t³−4a³となります。

ここではaを接点の横座標だと先に決めず、sとtを使って一般の接線を書きます。

問(2)：傾きと切片を同時に一致させる

同じ直線になるには、傾きだけでなく切片も一致する必要があります。傾きの一致からs²＝t²、したがってt＝sまたは−sです。

t＝sなら、切片の一致は−2s³＝−2s³−4a³となり、a＝0を意味します。原題はa＞0なので不適です。

よってt＝−sです。切片を合わせると、−2s³＝2s³−4a³となり、s³＝a³。実数の範囲でs＝a、t＝−aです。

したがってP＝(a,a³−a)、Q＝(−a,−5a³＋a)。共通接線ℓはy＝(3a²−1)x−2a³です。

Rは、原点での接線y＝−xとの交点

mは原点OにおけるC₁の接線です。f′(0)＝−1で原点を通るので、mはy＝−xです。

これをℓと連立すると−x＝(3a²−1)x−2a³、すなわち3a²x＝2a³。a＞0よりx＝2a/3で、y＝−2a/3です。

R＝(2a/3,−2a/3)となります。Qにおける接線と取り違えないことが大切です。

問(3)：下側の境界がRで切り替わる

求める部分は、曲線C₁と線分OR、線分RPで囲まれます。横座標はOが0、Rが2a/3、Pがaです。

0≦x≦2a/3では、曲線と直線mの差は(x³−x)−(−x)＝x³です。2a/3≦x≦aでは、曲線と直線ℓの差はx³−3a²x＋2a³です。

後者は(x−a)²(x＋2a)と因数分解でき、対象の区間で0以上です。どちらの区間も、曲線が上側にあることを確かめてから積分できます。

二つの積分を計算する

最初の積分は[x⁴/4]を0から2a/3まで計算し、4a⁴/81です。

二つ目の原始関数はx⁴/4−3a²x²/2＋2a³xです。x＝aで3a⁴/4、x＝2a/3で58a⁴/81となるため、その差は11a⁴/324です。

合計は16a⁴/324＋11a⁴/324＝a⁴/12。これが1/27だから、a⁴＝4/9です。aは正なので、a²＝2/3、a＝√6/3となります。

この値を面積a⁴/12へ戻すと、(4/9)/12＝1/27となり、元の条件も満たします。

理系の推薦は、基礎知識を使って説明する力を生かせるチャンス

3題とも、高校数学の基本事項を、与えられた条件に合わせて使う問題です。解の公式や微分の公式を覚えるだけでなく、その公式を使える場合、図形の条件、境界の切り替わりを説明することが、記述答案の準備になります。

理系の総合型・推薦は、数学の理解と探究・実績を結びつけて挑戦できるチャンスです。 探究でも、どの条件を使ってモデルを立て、結果をどう検証したかを言葉にしてみましょう。面接や口頭試問で、学んだ内容を説明する練習にもなります。

スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。数学・理科の記述対策、探究・実績づくり、志望理由書、面接・口頭試問まで、本人の課題と志望校に合わせて準備を支えます。

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