三重大学の推薦過去問解説｜電気電子工学の三角関数・積分漸化式を詳解【2027年度】

三重大学工学部・電気電子工学コースの学校推薦型選抜「推薦①」で出題された、2026年度数学の大問2を解説します。三角関数の微分からグラフを描く問題と、定積分の漸化式を導く問題です。

微分・積分の基本を、途中の理由まで説明できるかがポイントです。 答えを覚えるだけでなく、導関数の符号、部分積分の選び方、奇数と偶数の計算の違いまで確認しましょう。

出典：三重大学公式・2026年度特別選抜の過去問、工学部・電気電子工学コース推薦①の数学問題PDF。大問2はPDF3ページです。問題の数式・条件をTeXで整理し、解答とグラフはスキルパスが作成しました。

実問題：cos²xのグラフと、cosⁿxの定積分

(1)は、一階微分で増減、二階微分で曲がり方を調べる問題です。(2)は、指数が2つ違う積分の間に関係を見つけ、その関係を繰り返して値を求める問題です。

f(x)＝cos²xは、cos xを二乗した関数です。二乗の微分とcos xの微分を続けて用いると、f′(x)＝2cos x・(−sin x)＝−sin 2xとなります。

さらに微分すると、f″(x)＝−2cos 2xです。sin 2xを微分するときには、内側の2xの微分である2を掛けます。f″(x)＝−cos 2xとしないように気をつけましょう。

0＜x＜π/2では、0＜2x＜πなのでsin 2x＞0です。したがってf′(x)＝−sin 2x＜0となり、グラフは区間全体で右下がりになります。

端点の値はf(0)＝1、f(π/2)＝0です。開区間の内部で増減は変わらず、内部に極値はありません。指定された閉区間での最大値はx＝0のときの1、最小値はx＝π/2のときの0です。端点では接線の傾きが0になることも、図に反映させます。

f″(x)＝0よりcos 2x＝0を解くと、区間内ではx＝π/4です。ここでf(π/4)＝1/2となります。

0＜x＜π/4ではf″(x)＜0、π/4＜x＜π/2ではf″(x)＞0です。実際に符号が変わるので、変曲点は(π/4, 1/2)となります。二階微分が0になったことだけで判断せず、前後の符号まで確かめるのが大切です。

グラフは(0, 1)から始まり、(π/4, 1/2)で曲がり方を変えて、(π/2, 0)に至ります。変曲点で一階微分が0になるわけではありません。この点の傾きは−1です。

I₁はcos xの積分なので、原始関数sin xの端点の差から1です。

I₂には、半角の公式cos²x＝(1＋cos 2x)/2を用います。積分するとx/2＋sin 2x/4となり、0とπ/2を代入するとπ/4です。

I₁＝1、I₂＝π/4の二つが、後の計算の出発点です。 漸化式は指数を2つずつ下げるため、片方だけではI₅とI₆の両方を求められません。

Iₙ₊₂の中のcosⁿ⁺²xを、cosⁿ⁺¹x・cos xと見ます。前者を微分し、後者を積分する部分積分を使うと、sin²xが現れます。

cosⁿ⁺¹xの微分は−(n＋1)cosⁿx sin xです。部分積分そのものにある引き算と、微分で生じたマイナスが打ち消し合うため、積分の前の符号はプラスになります。

境界項cosⁿ⁺¹x sin xは、x＝0ではsin 0＝0、x＝π/2ではcos(π/2)＝0によって、どちらも0です。

残った積分でsin²x＝1−cos²xと変形すれば、IₙとIₙ₊₂が現れます。得られる式はIₙ₊₂＝(n＋1)(Iₙ−Iₙ₊₂)です。

右辺にもIₙ₊₂があるので、それを左辺へ移すと、(n＋2)Iₙ₊₂＝(n＋1)Iₙとなります。両辺をn＋2で割れば、求める漸化式が得られます。

I₅を求めるには、まずn＝3を代入してI₅＝(4/5)I₃、次にn＝1を代入してI₃＝(2/3)I₁とします。I₁＝1なので、I₅＝8/15です。

I₆は、n＝4からI₆＝(5/6)I₄、n＝2からI₄＝(3/4)I₂となります。I₂＝π/4を代入すると、I₆＝5π/32です。

奇数の積分はI₁へ、偶数の積分はI₂へ戻ります。 I₅にπが付かず、I₆にπが付くことも、計算の確認に役立ちます。

最終結果だけをそろえる練習では、途中式の符号や端点の扱いを見落としがちです。何も見ずに関係式を導き直し、グラフの形も言葉で説明してみてください。

FLOW実績づくりから出願まで、高校生活の流れに沿って支えます

今回の問題は、高校数学の微分・積分を一つずつ正確に使えば、解答までたどれます。教科の基礎を固め、式を選んだ理由まで説明できるようにすることが、推薦対策にもつながります。

電気電子分野への関心があるなら、回路や制御に関する探究、制作、数学・物理の学習経験について、取り組んだ内容と分かったことを整理しましょう。理系推薦は、学力とともに、専門分野へ向けて積み重ねた学びを伝えられるチャンスです。

過去問対策と、探究・実績づくり、志望理由書、面接をつなげて準備しましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。数学の記述答案の添削から、探究内容の説明や口頭試問まで、本人の経験と志望校に合わせて対策を支えます。