東京科学大学の総合型過去問解説｜正八面体の体積・高さと休憩所の造形課題【2027年度】

東京科学大学の2026年度総合型選抜・環境・社会理工学院Aで出題された造形課題を解説します。1辺6 mの正八面体について、体積、面を下に置いたときの高さとスケッチ、さらに三つの立体を使った公園の休憩所のデザインが問われました。この記事では課題1～3を扱います。

計算で立体を理解し、その形をスケッチと空間の提案で伝える問題です。 とくに高さは、立体をどの向きに置くかで変わります。図と数式を対応させながら確認しましょう。

出典：東京科学大学公式・過去の入試問題、2026年度環境・社会理工学院Aの問題PDF、大学公表の出題意図。問題はPDF2ページ、試験時間は120分です。以下の計算、図、デザインと説明文はスキルパスの独自解答です。

実問題：1辺6 mの正八面体を、計算からデザインへ

原題ではA2のケント紙1枚に解答し、三つの課題をバランスよく配置するよう指定されています。使用できる用具は黒鉛筆・三角定規・ものさし・消しゴムです。完成図だけでなく、計算とスケッチの配置も考えて取り組む課題です。

課題1の詳解：二つの正四角錐に分けて体積を求める

中央の正方形を見つける

正八面体は、同じ正四角錐を底面どうしで合わせた立体として考えられます。中央の正方形の1辺は6 mで、その上と下に頂点が一つずつあります。

正方形の対角線は6√2 mなので、正方形の中心から各頂点までの距離は半分の3√2 mです。正四角錐の頂点から正方形の頂点へ伸びる斜めの辺は6 mです。

三平方の定理から、四角錐一つの高さを求める

正四角錐の高さをhとすると、h²＋(3√2)²＝6²です。h²＝18となり、h＝3√2 mを得ます。

底面積36 m²の四角錐が二つあるので、体積は2×(1/3)×36×3√2です。したがって、正八面体の体積は72√2 m³となります。

ここで求めた四角錐の高さを2倍した6√2 mは、向かい合う頂点の間の距離です。課題2のように三角形の面を地面へ置く場合の高さとは異なります。

課題2の詳解：面を下に置いた高さは2√6 m

座標を置き、向かい合う面の間隔を求める

中心を原点とし、6個の頂点を、各座標軸の正負の向きに距離rだけ離れた点へ置きます。たとえば隣り合う頂点(r, 0, 0)と(0, r, 0)の距離はr√2です。

辺の長さが6 mなのでr＝3√2です。三つの頂点(r, 0, 0)、(0, r, 0)、(0, 0, r)を含む面の平面は、x＋y＋z＝rとなります。その反対側の面はx＋y＋z＝−rです。

二つの平面は平行で、法線方向は(1, 1, 1)です。この方向のベクトルの長さは√3なので、面の間隔は2r/√3、すなわち2√6 mとなります。片方の面を地面へ置けば、この間隔が立体全体の高さです。

体積からも、同じ高さを確かめられる

正八面体の中心から各面までの距離は、対称性から等しくなります。それをρとすると、立体は底面が正三角形の三角錐8個に分けられます。

1辺6 mの正三角形の面積は9√3 m²です。よって体積は8×(1/3)×9√3×ρ＝24√3ρとなり、課題1の72√2と等しいことからρ＝√6 mです。

向かい合う面の間隔は中心からの距離の2倍なので、高さは2ρ＝2√6 mです。座標による計算と一致します。

スケッチでは、上と下に平行な三角形が現れる

地面に接する正三角形と、反対側にある正三角形は平行です。上の三角形は、真上から見ると下の三角形に対して向きが反転しています。下の三角形の上に一つだけ頂点を置くと、正四面体のような別の形になってしまいます。

6頂点と12本の辺を確かめ、奥の辺を破線などで区別しましょう。高さの寸法線は、斜めの辺に沿わせず、地面に垂直な方向へ描きます。

課題3の詳解：三つの立体を、人が使う休憩所へ

立体の配置と、人が過ごす場所を一緒に考える

課題3は、正八面体を三つ描けば終わりではありません。休憩所として、どこから入り、どこに座り、屋根や植栽がどんな役割を持つかを図から伝える必要があります。

独自案では、面を下にした三つの正八面体を、間隔を空けて並べます。各立体の上側の面を屋根とし、下側の側面は辺の骨組みを残して開く構想です。立体どうしの間を通路とし、下部にはベンチ、背後には植栽を配置します。

人物を描くと、約4.90 mの高さと人の体の大きさを比較でき、立体が置物ではなく人の居場所だと伝わります。屋根の面と開ける部分、ベンチと通路も描き分けましょう。

簡潔な表題と、150字程度の独自説明例

表題：三つの木陰をつなぐ休憩所

正八面体を三つ、間隔を空けて並べ、散歩の途中で立ち寄れる休憩所とした。各立体は辺を骨組みとし、上側の面を屋根に、下側の側面を開口にする。ベンチを分けて置くことで、一人でも複数人でも過ごせる。人物を描いて尺度を示し、背後の植栽で周囲の公園景観につなぐ。立体間には通路を確保し、見通しと移動のしやすさに配慮した。

説明文とスケッチの内容が対応しているかを、最後に確認します。「通路を確保」と書いたのに立体が重なっている、開口と書いたのに全面を塗りつぶしている、といった食い違いを避けることが大切です。

答案全体で押さえたいポイント

• 体積の単位はm³、高さの単位はmと書き分ける。
• 体積計算に使った頂点間の高さと、面を下に置いた高さを区別する。
• スケッチには正八面体三つ、人物、植栽などを含め、説明文と表題を添える。
• A2用紙の片面に計算・立体図・デザインを配置し、図の視点と寸法を整える。

大学公表の出題意図では、立体形状の理解と表現、スケッチを通じた空間デザインの力が評価の対象です。図形の公式だけを覚えるのではなく、立体を回転させて捉え、その特徴を人に伝える練習が必要です。

理系の総合型選抜は、数学と制作・探究の経験を生かせるチャンス

今回の課題では、数学の計算と空間の提案が続いています。模型を作る、異なる角度からスケッチする、人の動線や尺度を考えるといった経験を、数式による説明へつなげられます。

理系の総合型・推薦は、教科の学力と、自分で考えて形にした経験を生かして挑戦できるチャンスです。 作品や探究の成果だけでなく、どんな条件を考え、どこを修正し、なぜその形を選んだのかも説明できるようにしましょう。

スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。過去問の数学的な理解、探究・制作の振り返り、志望理由書、面接・口頭試問を、本人の経験と志望校に合わせて支えます。

東京科学大学の志望理由書例文｜総合型・推薦対策【2027年度】