宮城大学の総合型選抜過去問解説｜数学の口頭試問を詳解【2027年度】

宮城大学の2026年度総合型選抜第2次選考から、数学の口頭試問2題を解説します。問1は放物線のグラフと係数の符号、問2は平方根を含む絶対値の計算です。

口頭試問では、正解を出すだけでなく、どの条件を根拠にしたかを短い言葉で説明できることが大切です。 今回は、実際の問題条件を図と数式で示したうえで、考え方、解答、口頭での説明例を確認します。

出典：宮城大学公式・過去問と解答例・入試講評、2026年度入学試験問題集、数学口頭試問の公式講評。対象は問題集PDF18〜19ページ、冊子14〜15ページの数学です。一般選抜の数学とは別の出題です。図の位置関係と数式は原題を整理し、詳解はスキルパスが独自に作成しています。

問1：放物線の形から、aとbの符号を読む

原題のグラフには、具体的な係数の数値がありません。上に開いていること、頂点がy軸の右側にあること、Pがy軸との交点であることを、それぞれ式と結びつけます。各小問の制限時間は1分です。

2次関数y＝ax²＋bx＋cは、a＞0なら上に開き、a＜0なら下に開きます。原題は上に開く形なので、aは正です。

頂点がx軸より下にあることと、aの正負を混同しないようにしましょう。グラフが上下どちらへ開くかと、頂点の高さは別の情報です。

平方完成すると、軸はx＝−b/(2a)と分かります。原題の頂点はy軸の右側にあるので、−b/(2a)＞0です。(1)でa＞0が分かっているため、分母2aは正。したがって−b＞0、つまりb＜0となります。

「頂点が右にあるからbは正」と、図の方向をそのまま係数の符号に置き換えるのは誤りです。軸の式にマイナスがあることまで確認する必要があります。

y軸上の点はx座標が0です。f(0)＝cなので、点Pの座標は(0,c)となります。原題の図からc＞0とも分かりますが、求められた座標の答えは(0,c)です。

座標を(c,0)と逆に書くと、x軸との交点を表すことになります。どちらの軸との交点かを先に言葉にすると、取り違えを防ぎやすくなります。

「上に開く放物線なのでaは正です。軸はx＝−b/(2a)で、頂点がy軸の右側にあるため、この値は正です。aが正なのでbは負になります。Pはy軸との交点なのでx＝0で、y＝cです。よって座標は(0,c)です。」

これは3つの小問をまとめた独自の説明例です。本番では、それぞれの質問に合わせて必要な部分を答えます。式を丸暗記するよりも、「図の情報→対応する式→結論」の順で話せるようにすると、別のグラフにも対応できます。

絶対値は、いつでも括弧へ置き換えられる記号ではありません。中身が0以上ならそのまま、中身が負なら符号を反転させます。先に、√5が2と5のどちら側にあるかを判断することが出発点です。

2²＝4、3²＝9なので、2＜√5＜3です。よって2−√5は負、5−√5は正となります。√5を小数に直さなくても、必要な大小関係は決まります。

第1項は√5−2、第2項は5−√5です。足すと√5が消え、答えは3となります。2つの絶対値の中身は符号が異なるため、同じ扱いにはできません。

2＜√5＜5なので、2から√5までの距離と、√5から5までの距離を足すと、2から5までの距離になります。したがって合計は5−2＝3です。

この見方は計算結果の確認にも役立ちます。たとえば7−2√5という答えが出た場合、最初の絶対値をそのまま外していないかを見直すきっかけになります。

「4＜5＜9より、2＜√5＜3です。したがって2−√5は負、5−√5は正です。絶対値を外すと√5−2＋5−√5となり、答えは3です。」

符号を決めた理由を一言添えるだけで、計算の根拠が伝わります。 説明を長くする必要はありません。どの判断が必要だったかを、抜けなく述べることが大切です。

大学の講評では、問1について、文字を使った係数とグラフの関係の理解や、平方完成の定着が課題として挙げられています。問2は、絶対値の計算を通して、場合分けと判断の定着を見る問題と説明されています。

練習では、最初から答えを見ずに、グラフのどの部分を見たか、式のどこへ代入したかを声に出して確認してみましょう。符号を変えた類題でも同じ理由を説明できれば、理解が定着しているかを確かめられます。

たとえば問1で頂点がy軸の左側へ移れば、a＞0のままでもbの符号は変わります。問2でも、絶対値の中の数が変われば場合分けが変わります。答えの暗記だけでは、この変化に対応できません。

FLOW実績づくりから出願まで、高校生活の流れに沿って支えます

総合型・推薦には、教科の基礎を使って考え、その理由を説明する力を示せる機会があります。宮城大学の総合型選抜に向けても、数学の基礎学習と、レクチャーの理解や自分の考えを伝える準備をつなげることが大切です。

探究や制作に取り組む場合も、結果だけでなく、何を調べ、どこでつまずき、どう確かめ直したかを整理しておくと、学びの過程を説明する練習になります。教科の理解と、自分の取り組みを別々にせず、志望理由や面接へ結びつけていきましょう。

実績づくりから、基礎学力の説明・志望理由書・面接まで、一貫した準備が大切です。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。本人の学びと志望校の課題に合わせて、答えと根拠を伝える練習を支えます。