岡山大学の推薦入試過去問解説｜工学部のベクトル・順列・微分11小問【2027年度】

岡山大学の2026年度学校推薦型選抜で、工学部工学科「情報・電気・数理データサイエンス系」に出題された総合問題から、第1～3問の11小問を解説します。空間ベクトル、文字の並べ替え、指針式メーターを題材にした微分の問題です。

計算の答えだけでなく、垂直という条件を何の式にするか、重複をどう除くか、変化の速さをどう表すかが問われています。 問題の条件から式を作る過程を、一問ずつ確認しましょう。

出典：岡山大学公式・2026年度の試験問題等、工学部の学校推薦型選抜Ⅰ・総合問題、大学公表の出題意図。問題PDFの2～4ページが対象です。数式・条件をTeXで整理し、解答と図はスキルパスが作成しました。

第1問の実問題：空間ベクトルと平面

問1：直線上の点を置き、内積を0にする

直線ABの方向は、Bの座標からAの座標を引いて求められます。Uはこの直線上にあるので、Aから方向ベクトルの定数倍だけ進んだ点として表せます。

原点OからUへ向かうベクトルは、Uの座標そのものです。このベクトルとABの方向ベクトルが垂直という条件を、内積が0になる式に直します。パラメータが1/3と決まり、Uの座標は（1, 2, 3）です。

図を細かく描かなくても、「直線上にある」と「垂直である」という二つの条件を使えば、座標が決まります。得られた座標を内積に戻すと、6－6＝0となり、垂直条件の確認もできます。

問2：法線ベクトルと、平面が通る点を使う

法線ベクトルは、平面内の方向と垂直なベクトルです。問1で求めた（1, 2, 3）が法線なので、平面の方程式の左辺はx＋2y＋3zという形になります。

定数は、平面に含まれる点Aを代入して決められます。Aの座標を入れると－1＋6＋9＝14なので、平面Sはx＋2y＋3z＝14です。Bを代入しても5＋0＋9＝14となり、ABを含むことを確認できます。

問3：直線をパラメータ表示し、平面に代入する

直線ℓは点Dを通り、方向が（3, 4, －1）と分かっています。したがって、Dからその方向にs倍進んだ点として表せます。

その座標を平面Sの式に代入すると、－2＋8s＝14です。s＝2を直線の式に戻すと、交点Cは（2, 6, 0）。平面の式に代入して2＋12＝14、またDとの差が（6, 8, －2）で方向ベクトルの2倍になることも確認できます。

問4：中点を一つずつ計算する前に、和を整理する

P、Q、Rは三辺の中点です。三つの中点の位置ベクトルを足すと、各頂点が2回ずつ、1/2倍で現れるため、A、B、Cの位置ベクトルの和と一致します。この和は重心Gの位置ベクトルの3倍です。

求める式では、GPはP－G、GQはQ－G、BRはR－Bです。足すと「中点三つの和－Gの2倍－B」となり、G－Bまで整理できます。最後に重心（2, 3, 2）からB（5, 0, 3）を引けば、答えは（－3, 3, －1）です。

ベクトルの始点と終点を確かめてから、位置ベクトルの差に直しましょう。 特に最後のBRをGRと読み違えると、別の式になってしまいます。

第2問の実問題：ENGINEERの順列と確率

問1：同じ文字を入れ替えた重複を除く

ENGINEERにはEが3個、Nが2個あり、G、I、Rは1個ずつです。8文字をすべて別物として数えれば8!通りですが、E同士の入れ替え3!通り、N同士の入れ替え2!通りは、同じ文字列として重複しています。

この重複を除くため、8!を3!と2!で割ります。並べ方の総数は3360通りです。文字が何個ずつあるかを最初に書いておくと、以後の計算でも数え違いを防げます。

問2：先にE以外を並べ、隙間にEを入れる

Eが隣り合わない条件では、E以外のN、N、G、I、Rを先に並べる方法が考えられます。この5文字の並べ方は、Nの重複を除いて60通りです。

5文字の間には4か所、両端には2か所の隙間があります。この合計6か所から異なる3か所を選び、Eを1個ずつ置けば、E同士は隣り合いません。隙間の選び方は20通りなので、60×20＝1200通りです。

ここで同じ隙間にEを2個入れると、Eが隣り合ってしまいます。「異なる3か所を選び、1個ずつ入れる」という条件が数え方の要点です。

問3：E非隣接の中から、NNが隣り合う場合を除く

同じ文字が隣り合う可能性があるのは、EとNです。問2ではE同士が隣り合わない条件を既に満たしているため、そこからNNが隣り合う並べ方を除きます。

NNを一つの塊とすると、NN、G、I、Rという異なる4個を並べることになります。並べ方は24通り。Eを入れられる隙間は両端を含む5か所で、そのうち3か所を選ぶ方法は10通りです。

NNの内部にはEを入れません。そこへEを入れるとN同士が離れてしまい、除くべき場合とは違ってきます。除く数は24×10＝240通りなので、1200－240＝960通りです。

問4：少なくとも1組ある確率は、余事象で求める

「少なくとも1組のEが隣り合う」場合を直接数えようとすると、EEの塊とEEEの塊を重複して数えやすくなります。ここでは問2の結果を使い、全体から「Eが一組も隣り合わない」場合を除く方が簡潔です。

確率は1－1200/3360＝9/14で、約64.3％。問題文のプログラムで得られた約64％と近いため、この比較からは妥当と判断できます。

シミュレーションの割合と理論値を比較するときは、何が起きる確率を求めたのかも言葉で説明しましょう。 ここで検証したのはEの隣接という事象の割合です。この一つの割合が近いことだけで、プログラムのすべての処理が正しいと証明できるわけではありません。

第3問の実問題：メーターの指示値と微分

問1：因数分解で、指示値が0になる位置を探す

F（1）＝0なので、F（x）はx－1を因数に持ちます。割った後の2次式も因数分解すると、（x－1）の2乗とx－4の積になります。指示値が0になる位置はx＝1、4です。

x＝1は重解ですが、求める位置としては1か所です。また、二つとも0以上5以下という定義域に含まれています。

問2：導関数の符号から、増減とグラフを決める

導関数は3（x－1）（x－3）です。x＝1、3で0になり、0から1の間では正、1から3の間では負、3から5の間では正です。

このため、グラフは増加、減少、増加の順に変わります。F（0）＝－4、F（1）＝0、F（3）＝－4、F（5）＝16を併せて求めると、定義域内の概形を描けます。

減少する区間は1から3までで、傾きが負になる範囲を不等式で示すと1＜x＜3です。両端では導関数が0になります。グラフはx＝1で横軸に接し、x＝4で横軸を横切ることにも注意してください。

問3：最も急激な減少は、導関数の最小値で考える

最も急激に減少する位置は、指示値が最小になる位置とは違います。例えばx＝3ではFが極小になりますが、その点での傾きは0です。

つまみを一定の正の速さで動かすので、時間当たりの指示値の変化は、導関数に一定の正の数を掛けたものになります。したがって、Fの導関数が最小になるxを求めればよいと分かります。

導関数を平方完成すると、3（x－2）の2乗－3。最小になるのはx＝2で、このときの傾きは－3です。原題の「一定の速度」という条件が、位置に対する変化率を使ってよい理由になっています。

関数の値、傾き、時間当たりの変化を分けて考えると、機器の動きと微分が結びつきます。 数式を計算した後には、その結果がメーターのどのような動きを表すのかも確認しましょう。

理系推薦は、数学と情報の経験を生かせるチャンス

今回の実問題では、高校数学の内積、場合の数、微分を使い、条件を数式に表す力が問われています。大学公表の出題意図でも、第2問は組合せの考え方とシミュレーションの理論的検証、第3問は実用的な場面での3次関数の理解が挙げられています。

理系推薦は、教科の学習と専門分野への関心を結びつけて準備できるチャンスです。例えば情報オリンピックやプログラミングに取り組む際も、動くコードを作るだけでなく、小さい場合を全て調べ、理論上の答えと照合した経験が、今回のような検証の考え方につながります。

過去問では、途中式を第三者が追えるかを確認することも大切です。ベクトルの向き、数え方の重複、微分した量の意味など、答えが合っているだけでは見落としやすい部分まで説明できるようにしましょう。

実績づくりと数学・情報の学習、過去問の添削をつなげて準備しましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。志望理由書、総合問題、小論文、口頭試問、面接まで、本人の経験と志望校に合わせた対策を支えます。

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