佐賀大学の総合型選抜過去問解説｜数理分野の3次方程式・対数数列【2027年度】

佐賀大学の2026年度総合型選抜Ⅰで、理工学部理工学科の数理分野に出題された適性検査2題を解説します。第1問は3次方程式の実数解と非実数解、第2問は対数数列の和と極限です。

数理分野の対策では、答えを出す力に加え、「なぜ成り立つか」を式と文章で示す力が大切です。 今回は5小問すべてについて、最初に使う条件から結論まで、証明の流れを確認します。

出典：佐賀大学公式・学部入試の過去問題、2026年度総合型選抜Ⅰ・数理分野の適性検査。問題PDFの2・3ページが対象です。数式・条件をTeXで整理し、以下の詳解はスキルパスが作成しました。

第1問の実問題：3次方程式の実数解と非実数解

問1：まず、0以上に実数解がないことを示す

3次方程式の解を直接求める必要はありません。左辺を関数fと置き、グラフが横軸と何回交わるかを調べる方法が考えられます。

ここでxの3乗－2xの2乗＋xを、x（x－1）の2乗とまとめると、符号が見やすくなります。xが0以上なら、この積は0以上。さらに正の定数kが加わるため、fの値は必ず正です。したがって、0以上の実数解はありません。

定数項のkが正という条件を、最初に使っている点に注目してください。k＝0まで含めると、x＝0、1という実数解が現れ、原題とは違う結論になります。

負の範囲では、存在と一意性を分けて証明する

次にxが負の範囲を調べます。導関数は3xの2乗－4x＋1です。この範囲では3xの2乗も－4xも正なので、導関数は正になります。したがってfは単調増加します。

一方、xを負の方向へ限りなく大きくするとfは負の無限大へ向かい、x＝0ではf（0）＝k＞0です。多項式関数は連続なので、その間にf＝0となる点が少なくとも一つあります。

単調増加であることから、その点は二つ以上ありません。これで「負の実数解が存在する」と「それ以外に実数解がない」の両方が示され、唯一の実数解αは負と分かります。

「解がある」と「解が一つだけ」は、別の説明が必要です。 連続性と符号の変化は存在を、単調増加は一意性を示すために使っています。

問2：分かっている実数解を使い、2次式に分ける

αは方程式の解なので、αを代入した式が0になります。これをkについて整理すると、k＝－α（α－1）の2乗です。この関係を使って、3次式をx－αで因数分解できます。

残る2次式の判別式を計算すると、α（4－3α）になります。αは負、4－3αは正なので、判別式は負です。したがって、2次式は異なる二つの非実数解β、γを持ちます。

元の式の係数は実数ですから、この二つは共役な複素数です。共役な複素数は、実部が等しく虚部の符号が反対なので、原点からの距離である絶対値が等しくなります。

問3：共役な解の積を、絶対値の2乗に直す

β、γを個別に求めなくても、2次方程式の解と係数の関係を使えば、積は（α－1）の2乗と分かります。さらにγがβの共役なので、βγはβの絶対値の2乗です。

したがって、βとγの絶対値は、どちらもα－1の絶対値になります。α＜0なので、これは1－αです。絶対値が5という条件からα＝－4、これをkの式に戻すと、k＝100です。

平方根を取るときは、α－1の符号を確かめましょう。 2乗の平方根をそのままα－1とすると、負の数が絶対値になってしまいます。問1のα＜0という結果が、最後の符号処理にもつながっています。

検算としてk＝100を元の式に戻すと、（x＋4）（xの2乗－6x＋25）と因数分解できます。後半の2次方程式の解は3±4iで、絶対値はどちらも5です。解と元の条件が一致することまで確認できます。

第2問の実問題：対数数列の部分和と極限

問1：分子を変形し、一つ前の項を見つける

対数の中にある1＋2/（3のn乗＋1）を通分すると、（3のn乗＋3）/（3のn乗＋1）です。分子から3をくくると、「3×（3のn－1乗＋1）」になります。

ここで対数の性質を使うと、各項はlog3と、二つの対数の差に分かれます。この差には、添字が一つ違う同じ形が現れます。和を取ったときに途中の項が消えるように変形できたわけです。

例えば最初の数項を書くと、log2－log4、log4－log10、log10－log28という差が現れます。隣り合う項の正負が打ち消し合い、最初のlog2と最後の－log（3のn乗＋1）が残ります。log3は各項に一つずつあるため、合計でnlog3です。

この三つをまとめれば、原題で示すよう求められた部分和の式になります。見える範囲の数項だけを示して終わらず、添字を使い、任意の自然数nで同じ相殺が起きることまで説明しましょう。

問2：一つの対数にまとめてから極限を取る

問1の式を見て、nlog3は正の無限大、残りの対数は負の無限大だから、と別々に処理してはいけません。発散する二つの量の差は、そのままでは極限が決まらないからです。

nlog3をlog（3のn乗）と書き、対数を一つにまとめると、中身は2×3のn乗/（3のn乗＋1）です。分子と分母を3のn乗で割れば、2/（1＋3のマイナスn乗）になります。

3のマイナスn乗は0へ近づくので、この分数は2へ近づきます。対数の連続性から、部分和の極限はlog2です。

極限が扱いにくい形なら、先に式を整理しましょう。 この問題では、対数をまとめて分数に直すことで、極限を取れる形になります。

各項の極限と、部分和の極限を区別する

数列の各項a_nは0へ近づきます。ただし、各項が0へ近づくことだけから、和が収束するとは判断できません。今回のlog2という結論は、部分和S_nを具体的に求め、その極限を計算した結果です。

答案では、何の極限を求めているのか、記号を確かめましょう。原題が求めているのはa_nの極限ではなく、最初からn番目までを足したS_nの極限です。

理系推薦は、考えた過程を示せるチャンス

今回の適性検査では、微分、方程式、複素数、対数、数列という高校数学の内容が結びついています。難しい公式を多く知っていることよりも、使える条件を見つけ、理由を示しながら結論へ進む練習が対策につながります。

理系の総合型・推薦は、専門分野への関心と、学んだ内容を使って考える力を伝えられるチャンスです。例えば数学のコンテストに取り組んだ経験も、答えだけでなく、解けなかった理由や別解を検討した過程まで説明できれば、学びへの姿勢を具体的に振り返れます。

過去問の答案は、結果が合っているかに加え、他の人が証明を追えるかも確認しましょう。存在と一意性、判別式の符号、絶対値、和と極限など、説明が省かれやすい部分の添削が役立ちます。

教科の基礎、実績づくり、過去問の記述対策をつなげて準備しましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。志望理由書、適性検査、小論文、口頭試問、面接まで、志望校と本人の経験に合わせた対策を支えます。

佐賀大学の志望理由書例文｜総合型・推薦対策【2027年度】