東京都立大学の推薦過去問解説｜数理科学科の数列・領域を詳解【2027年度】

東京都立大学の2026年度学校推薦型選抜・一般推薦入試第2次選考から、理学部数理科学科の小論文を解説します。出題は、漸化式と数学的帰納法、文字を含む不等式と領域の2題です。

小論文という名称でも、数学の答えと、その理由を筋道立てて説明する力が問われています。 とくに第2問は、範囲に含まれない端点の扱いが、図の境界を含むかどうかに直結します。

出典：東京都立大学公式・2026年度多様な選抜、数理科学科の実問題PDF、大学公表の出題意図。以下の数式図は条件を整理したもの、解答と解答図はスキルパスの独自作成です。

第1問：漸化式から、11の倍数の証明へ

(1) 初めの項は、添字を一つずつ進める

a₁＝1、a₂＝2を漸化式へ代入すると、a₃＝2×2＋2×1＝6。続いてa₄＝2×6＋2×2＝16、a₅＝2×16＋2×6＝44となります。

ここで44が11の倍数だと分かります。ただし、一例が見つかっただけでは、すべてのa₅ₙについての証明にはなりません。次の設問で、5項先へ進む規則を用意することが大切です。

(2) 一般項を求めず、必要な2項だけを残す

漸化式を繰り返し使い、右辺にはaₙ₊₁とaₙだけが残るように整理します。たとえばaₙ₊₃＝2aₙ₊₂＋2aₙ₊₁へ、aₙ₊₂＝2aₙ₊₁＋2aₙを代入すると、aₙ₊₃＝6aₙ₊₁＋4aₙです。

同じ操作で、係数の組は(2,2)、(6,4)、(16,12)、(44,32)と変化します。答えはaₙ₊₅＝44aₙ₊₁＋32aₙです。特性方程式から一般項を求める方法もありますが、この設問では5項先を表せれば十分です。

(3) 帰納法の「次」は、aₖ₊₁ではなくa₅₍ₖ₊₁₎

まずn＝1ではa₅＝44なので成立します。次に、ある自然数kについてa₅ₖが11の倍数であると仮定し、a₅ₖ＝11mと置きます。数列の各項は、整数から整数係数の計算で作られるため整数です。

(2)の式でnを5kに置き換えると、a₅ₖ₊₅＝44a₅ₖ₊₁＋32a₅ₖ。第1項は係数44が11の倍数、第2項は仮定から11の倍数です。したがって和も11の倍数となり、数学的帰納法によって結論が得られます。

帰納法の答案では、最初の確認、仮定、次の場合の証明を省かないことが大切です。 「11の倍数になるのが分かる」と結論だけを書くより、どこに仮定を使ったかが明確になります。

第2問：すべてのtで成り立つ範囲を求める

この問題のxとyは、調べたい点の座標です。その点を一つ固定し、tだけを0以上1未満で動かして考えると、2次関数の問題として整理できます。

F(t)＝xt²＋t＋y−1と置けば、必要な条件は、区間内のすべてのtでF(t)＜0となることです。端だけを確認して終わると、区間の途中で正になる場合を見落とします。

場合1：xが−1/2以上なら、右端へ向かって増える

F′(t)＝2xt＋1です。x≧0なら明らかに正で、−1/2≦x＜0でも0≦t＜1では正となります。したがって、F(t)はこの区間で増加し、tを1へ近づけたときの値はx＋yです。

x＋y＞0なら、1より少し小さいtでもF(t)＞0となり不適です。一方、x＋y≦0なら、区間内では常にF(t)＜x＋y≦0なので条件を満たします。よって、この場合はy≦−xです。

もとの不等号が「＜」でも、求める領域の境界がすべて除外されるとは限りません。 t＝1そのものは調べる区間に入っていないため、x＋y＝0も許されます。

場合2：xが−1/2より小さいなら、途中の頂点を調べる

x＜−1/2では、F(t)は上に凸の放物線です。頂点のt座標は−1/(2x)で、0より大きく1より小さくなります。つまり最大値を取る点が、実際に調べる区間内にあります。

平方完成すると、F(t)＝x{t＋1/(2x)}²＋y−1−1/(4x)。最大値はy−1−1/(4x)なので、これが厳密に0より小さいことが必要十分です。したがってy＜1＋1/(4x)となります。

等号の場合は頂点でF(t)＝0となり、もとの条件を満たしません。こちらの曲線は境界を含みません。

第2問の解答図と、答案で説明したい境界

x＜−1/2の部分では曲線y＝1＋1/(4x)より下側、x≧−1/2の部分では直線y＝−x以下の領域です。曲線側を破線、直線側を実線で描き、接続点(−1/2,1/2)は含めます。

接続点を直接代入して確かめると、F(t)＝−(t−1)²/2です。0≦t＜1では必ず負となり、接続点を含める判断とも一致します。答案の最後にこの確認があると、境界の意味を説明しやすくなります。

避けたい解き方：t＝0とt＝1だけを代入する

t＝0からはy＜1、tを1へ近づけることからはx＋y≦0が必要です。しかし、この2条件だけでは十分ではありません。たとえばx＝−1、y＝0.8なら両方を満たしますが、t＝0.5ではF(t)＝0.05となり不適です。

端点の確認は出発点です。途中で最大になる場合がないかまで調べて、初めて「すべてのtで成立する」と説明できます。

理系推薦は、数学への理解を説明で示せるチャンス

今回の2題は、高校数学の数列、帰納法、2次関数を土台にしています。難しい公式の暗記だけでなく、条件を読み取り、場合分けの理由を説明する練習が対策になります。大学の出題意図でも、答えに至る過程が評価の対象とされています。

理系の総合型・推薦は、こうした教科の理解に、探究や制作などの学びをつなげて挑戦できるチャンスです。数学の探究なら、予想を立て、具体例で確かめ、その後に一般的な証明へ進んだ経験を整理すると、考え方を伝える練習にもなります。

実績づくりと、数学の記述・志望理由書・面接を結びつけた準備が大切です。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。答えを覚える学習から、根拠を言葉で説明できる学習へ、志望校に合わせて支えます。

東京都立大学の志望理由書例文｜総合型・推薦対策【2027年度】