群馬大学の推薦入試過去問解説｜情報学部の整数・確率10問を詳解【2027年度】

群馬大学情報学部の2026年度学校推薦型選抜では、小論文の文系型と理系型のどちらかを選ぶ形式でした。この記事では、理系型の問1・問2に含まれる全10小問を解説します。

求められるのは、答えに加えて、条件を満たす理由を筋道立てて書くことです。 直角三角形の整数問題は平方数の余り、カードの確率問題は場合分けと数え上げを使うと整理できます。問題の条件と数式をTeXで示し、途中の理由まで確認します。

出典：大学公式・2026年度総合型選抜等の過去問、情報学部小論文の実問題、理系型の評価ポイント。原題の冊子7～8ページが対象です。以下の解答・途中式はスキルパスが作成しました。

問1：整数の3辺を持つ直角三角形

問1-1：三平方の定理を満たす三つの例

最長の辺は直角の向かい側なので、三平方の定理で確かめられます。例えば、3・4・5、5・12・13、6・8・10です。それぞれ、小さい二辺の平方を足すと最長辺の平方になります。

三つ目の例は一つ目を2倍したものですが、問題では互いに素であることを求めていません。条件にない制約を加えず、正の整数であることと直角三角形の関係を確認しましょう。

問1-2・1-3：平方数の余りから矛盾を示す

奇数は整数を使って「2倍した数に1を足したもの」と表せます。その平方を展開すると、4の倍数と1の和になるため、4で割った余りは1です。一方、偶数の平方は4の倍数です。

これを使い、二つの短い辺がともに奇数だと仮定します。二辺の平方の和を4で割ると余りは2です。しかし、最長辺の平方は、偶数の平方なら余り0、奇数の平方なら余り1であり、余り2にはなりません。

三平方の定理の両辺で余りが一致しないため、最初の仮定が誤りです。したがって、二つの短い辺の少なくとも一方は偶数となります。

背理法では、仮定、そこから得られる余り、矛盾する理由まで書きましょう。 数例を調べただけでは、すべての正の整数についての証明になりません。

問1-4：偶数の辺が4の倍数となる理由

一辺が奇数で、もう一辺が偶数なら、三平方の定理から最長辺は奇数です。ここで4で割った余りだけを考えると、偶数の辺の平方が4の倍数だと分かるだけで、辺そのものが4の倍数とはまだいえません。

そこで、8で割った余りに注目します。連続する二つの整数の積は偶数なので、奇数の平方を展開した式は、8の倍数と1の和になります。二つの奇数の平方の差は8の倍数です。

偶数の辺を2倍の整数で表すと、その平方が8の倍数であることから、残った整数の平方は偶数です。平方が偶数なら元の整数も偶数なので、辺は4の倍数となります。「平方が4の倍数だから、元の辺も4の倍数」と飛躍しないことが大切です。

問1-5：面積では二つの場合を分ける

直角三角形の面積は、直角を挟む二辺の積の半分です。両辺が偶数の場合は、それぞれを2倍の整数で表せば、面積が2倍の整数になります。

片方が奇数なら、もう片方は問1-4より4の倍数です。積を2で割っても2の因数が残るため、面積は偶数です。両辺が奇数の場合は問1-3で除かれています。これで、条件を満たすすべての場合を調べられました。

問2：2の累乗のカードと確率

問2-1：どちらの箱のカードかを区別する

Aから1枚、Bから1枚を取る場合は、全体で4×5の20通りです。和が5となるのは、Aが1でBが4の組と、Aが4でBが1の組です。求める確率は2/20、約分すると1/10です。

同じ数字の組に見えても、箱が違えば別の取り方です。反対に、同じ箱から2枚を取る後半の問題では、取り出した順番を重複して数えないようにする必要があります。

問2-2：和が20を超える組を除く

条件を満たす組を全部書く代わりに、満たさない組を探します。Aが1・2・4なら、Bが最大の16でも和は20以下です。Aが8の場合だけ、Bが16のときに和が24になります。

除くのは1通りなので、20通りのうち19通りが条件を満たし、確率は19/20です。和がちょうど20になる4と16の組は含めます。「以下」という条件も、最後に確かめましょう。

問2-3：積の上限から、Bで選べる枚数を数える

Aの数字を決めると、Bの数字に上限ができます。Aが1ならBの5枚すべて、Aが2なら16を除く4枚、Aが4なら1・2・4の3枚、Aが8なら1・2の2枚です。

条件を満たすのは合計14通りで、確率は14/20＝7/10です。和の場合と同じ19/20にしないよう、何を計算して比べる問題かを確認してください。

問2-4：Bから2枚を選ぶ組合せは10通り

Bの5枚から2枚を選ぶ組合せは10通りです。Aからの4通りと合わせると、全体は40通りになります。Bの1と2を選ぶ組を、1・2と2・1の二つに数える必要はありません。

Aが1なら、Bの積が8以下になる4組が使えます。Aが2ならBの積は4以下で2組、Aが4ならBの積は2以下で1組です。Aが8の場合は、Bの最小の積が1×2＝2なので、3枚の積が8を超えてしまいます。

条件を満たすのは4＋2＋1の7通りで、確率は7/40です。Bには同じ数字のカードが1枚ずつしかないため、1と1、2と2のような組を加えないことも大切です。

問2-5：2000を超える三つの組だけを除く

Aから2枚を選ぶのは6通り、Bから2枚を選ぶのは10通りなので、全体は60通りです。すべてのカードが2の累乗であるため、4枚の積も2の累乗になります。

2000は2の10乗と11乗の間にあるので、積が2000を超えるのは、2の11乗以上となる場合です。Aの2枚の積が8以下なら、Bを最大の8と16にしても積は1024以下で、条件を満たします。

Aの2枚の積が16となるのは2と8の組で、この場合に除くBの組は8と16だけです。Aの積が32となる4と8の組では、Bの4と16、8と16を除きます。ほかにAの積が16以上となる組はないため、除くのは合計3通りです。

したがって、求める確率は57/60＝19/20です。問2-2と同じ答えですが、分母も条件を満たす組も異なります。答えの一致だけでなく、それぞれの数え方を確かめてください。

同じ箱の2枚は組合せで数え、条件を満たす場合と全体の場合で数え方をそろえましょう。 順序を区別して解くこともできますが、その場合は分子・分母の両方で同じ基準が必要です。

理系推薦は、基礎の理解と実績を生かせるチャンス

この理系型では、三平方の定理、整数の偶奇、平方数の余り、確率の数え上げが解法の中心です。解き直す際は、整数の証明で調べた場合がすべてそろっているか、確率の分母が取り方に合っているかを、自分の言葉で説明してみましょう。

大学公表の評価ポイントでも、数学の性質を理解したうえで、論理的に説明することや、方針を示して数え上げることが重視されています。正解だけを覚えるより、途中の根拠を再現する練習が役立ちます。

理系・情報系の推薦は、基礎学力と、探究・制作・資格・コンテストなどで積み重ねた経験を生かせるチャンスです。 過去問対策と並行して、自分が何を考え、試し、改善したのかを説明できる実績づくりも進めましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導し、数学の考え方から実績づくり、志望理由書、小論文、面接まで、一人ひとりの志望校に合わせて支えます。群馬大学に向けて、今の学力と活動経験から何を準備するか、進学相談で一緒に考えませんか。

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