京都大学の総合型選抜過去問解説｜数理科学入試の格子点と極限を詳解【2027年度】

京都大学の2026年度特色入試から、理学部数理科学入試「数学に関する能力測定考査」の第3問を解説します。楕円体の中にある整数座標の点を数え、その個数をtの3乗で割った極限を求める問題です。

この問題は、体積から答えを予想した後に、格子点の個数と体積の差を評価することが要点です。 形の見方、積分、立方体による上下からの評価、はさみうちの順に証明します。

出典：京都大学公式・2026年度特色入試の過去問題、理学部数理科学入試の実問題、大学公表の出題意図。対象は問題PDFの4ページ、冊子内の第3問です。数式・条件をTeXで整理し、以下の証明はスキルパスが作成しました。

第3問の実問題：楕円体に含まれる整数点

tは大きくなるが、aは固定されている

求めるのは、正の実数aを固定してtを限りなく大きくしたときの極限です。aまでtと一緒に変える問題ではありません。この条件は、後で使う境界の幅を定数として扱うためにも重要です。

整数座標の点は、空間に間隔1で並ぶ格子点です。正の座標だけでなく、負の座標や0も数えます。また、不等号に等号が含まれるので、楕円体の表面上にある格子点も対象です。

まず、領域の形と大きさを読む

x軸、y軸、z軸との交点を調べると、それぞれ原点からの距離はt、t、t/aです。a＝1なら球であり、一般にはz方向の長さを変えた楕円体になります。

全方向の長さがt倍になるため、体積はtの3乗に比例すると予想できます。格子点の密度も空間全体では単位体積当たり1なので、格子点の個数も同程度に増えると考えられます。ただし、この予想だけでは証明になりません。

体積の計算：高さごとの円を積み重ねる

断面の半径と、積分区間を求める

高さzを固定すると、残る条件はxの2乗＋yの2乗がtの2乗－aの2乗zの2乗以下、という形です。右辺が0以上である範囲で円の断面ができ、その面積はπ（tの2乗－aの2乗zの2乗）です。

断面が存在する高さは－t/aからt/aまで。断面積をこの範囲で積分すると、楕円体の体積が求まります。

体積は4π/（3a）にtの3乗を掛けたものです。したがって、極限の候補は4π/（3a）になります。a＝1を入れると、半径tの球の体積の係数4π/3になり、形の見方とも一致します。

格子点の個数N(t)と体積が、各tで等しいわけではありません。 境界付近では点が入ったり外れたりするため、その違いが極限に影響しないことを示す必要があります。

格子点を立方体に置き換え、個数を評価する

一つの格子点に、体積1の立方体を対応させる

各格子点を中心に、辺の長さ1の立方体を置きます。整数格子の周りをこのような立方体で区切れば、空間を隙間なく埋められます。境界が重複しないよう、区間の片端を含めない半開区間で定義します。

中心がV(t)に入っている立方体だけを集め、その合併をU_tとします。各立方体の体積は1で重ならないため、U_tの体積は、中心として選んだ格子点の個数N(t)そのものです。

こうして個数を体積へ置き換えると、U_tを少し小さい楕円体と大きい楕円体の間に挟む方法が使えます。

楕円体の式に対応した距離を使う

原点からの大きさを、xの2乗＋yの2乗＋aの2乗zの2乗の平方根で測ります。これをρと書くと、V(t)はρがt以下の領域です。

この距離は、z方向をa倍した座標での通常の距離です。そのため三角不等式が使えます。一つの立方体の点と中心との差は、各座標について絶対値が1/2以下なので、ρで測った差は√（2＋aの2乗）/2以下です。この定数をδと置きます。

外側への包含を示す

U_tの任意の点を選ぶと、その点を含む立方体の中心はV(t)の格子点です。中心のρはt以下で、点と中心のρで測った差はδ以下。三角不等式により、その点のρはt＋δ以下です。

したがってU_tは、大きい楕円体V(t＋δ)に含まれます。中心が内部にあっても立方体の一部が外へ出ることはありますが、その出方をδで抑えています。

内側からの包含も、別に示す

今度は小さい楕円体V(t－δ)の点を一つ選びます。その点を含む単位立方体の中心は、必ず整数座標です。

選んだ点のρはt－δ以下で、中心までの差はδ以下です。したがって中心のρはt以下となり、その中心はV(t)に入っています。つまり、対応する立方体はU_tに選ばれています。

これで小さい楕円体のどの点もU_tに含まれると分かりました。tがδより大きいとき、V(t－δ)、U_t、V(t＋δ)の順に包含されます。

外側へのはみ出しだけでなく、内側を埋めていることも必要です。 上からの評価だけでは、N(t)の極限を一つの値に決められません。

はさみうちによる極限の証明

個数をtの3乗で割る

包含関係から体積の大小関係が得られます。U_tの体積はN(t)なので、先ほど求めた楕円体の体積公式を上下に使えます。

aは固定されているためδも固定です。tを大きくするとδ/tは0に近づき、上下の式はどちらも4π/（3a）へ収束します。はさみうちの原理により、求める極限も4π/（3a）です。

この証明で扱えたこと

証明はtが整数であることを使っていません。正の実数として大きくなる場合にも成立します。また、表面上の格子点も中心として立方体を選ぶ条件に含めているため、境界の点を別に数え直す必要はありません。

格子点を正確に一つずつ数える式を作らなくても、上下の体積評価で極限を求められた点が、この解法の特徴です。計算結果だけでなく、なぜこの評価で十分なのかまで答案に残しましょう。

理系推薦は、考え抜いた過程を示せるチャンス

大学公表の出題意図では、この第3問について、空間領域内の格子点の個数を正しく評価し、推論を的確に表現する力が挙げられています。体積を計算できるだけでなく、離れた点の個数を連続的な量で評価する発想と、その根拠が問われています。

理系の総合型・推薦は、数学や科学に継続して取り組み、試行錯誤した過程を示せるチャンスです。数学のコンテストや数理的な探究でも、予想を立てる、簡単な場合で確かめる、誤差を評価する、一般的に証明する、という経験が記述の準備につながります。

教科の基礎、実績づくり、論証の添削をつなげて準備しましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。志望理由書、数学の記述、探究の説明、口頭試問、面接まで、本人の経験と志望校に合わせた対策を支えます。

京都大学の志望理由書例文｜総合型・推薦対策【2027年度】