名古屋工業大学の推薦入試過去問解説｜数学・物理・化学の解き方【2027年度】

名古屋工業大学の学校推薦型選抜は、数学・理科の筆記だけでなく、書類や面接まで見据えて準備したい入試です。筆記の得点を安定させるには、公式の出題意図と照らし合わせながら、途中の考え方を説明できるところまで仕上げることが大切です。

この記事では、大学が公開する2026年度学校推薦型選抜の数学2題と、物理・化学の代表問題を解説します。公式問題で問われた内容を確認し、「何となく解けた」を、自分で式を立てられる理解へ変えていきましょう。

解説する過去問と公式資料

出典：名古屋工業大学・過去問題の公式一覧。問題全体と、大学公表の解答・出題意図は以下の各節から確認できます。

数学・問題1：絶対値の中身の符号を先に整理

実際の問題文

題材は f(x)＝x²(3−x) と、その絶対値をとった g(x) です。極値、直線との共有点、定積分の3段階からなる問題でした。

(1) 極値は導関数の符号で判定

f(x)＝3x²−x³を微分すると、f′(x)＝6x−3x²＝3x(2−x)です。導関数の符号は、x＜0で負、0＜x＜2で正、x＞2で負となります。

したがって、x＝0で極小値0、x＝2で極大値4です。「導関数が0になる点」を見つけるだけで終わらず、前後の符号まで確認してください。

(2) 共有点は、場合分けしたグラフで数える

原点は常に共有点になります。それ以外の共有点を数えるときは、絶対値の中身が正になるx＜3と、負になるx＞3を分けます。

a＞0では、x＜0だとg(x)≧0、ax＜0なので、共有点はありません。0＜x＜3ではxで割ってx(3−x)＝aです。左辺は−(x−3/2)²＋9/4なので、aが0より大きく9/4未満なら2点、9/4なら1点、9/4より大きければ0点で交わります。

x＞3ではx(x−3)＝aで、左辺は0から増え続けるため、a＞0に対して共有点が1点あります。これに原点を加えると、共有点が合計3点になるのは、0＜x＜3でちょうど1点となるa＝9/4です。

a＝0ではg(x)＝0からx＝0、3の2点です。a＜0ではx＞0に共有点はなく、x＜0の側に1点と原点があるだけなので、3点にはなりません。

最後にx＞3の共有点を求めます。x²−3x−9/4＝0の解は(3±√18)/2で、そのうち3より大きい方を選びます。答えはa＝9/4、共有点のx座標は0、3/2、3(1＋√2)/2です。

(3) 定積分は、x＝3で区間を分ける

0≦x≦3ではg(x)＝3x²−x³、3≦x≦4ではg(x)＝x³−3x²です。

0〜3の積分：［x³−x⁴/4］＝27/4

3〜4の積分：［x⁴/4−x³］＝27/4

合計：27/2

前半では、原始関数x³−x⁴/4のx＝3での値が27−81/4＝27/4、x＝0での値が0です。後半では、x⁴/4−x³のx＝4での値が0、x＝3での値が−27/4なので、その差も27/4です。

絶対値付きの積分は、最初に符号が変わる点を確かめると、基本的な多項式の積分に整理できます。

出典：数学の問題、数学の公式解答・出題意図。

数学・問題2：直交条件を内積の式に直す

実際の問題文

内積と垂直条件の解説

長さ7と3の2辺、なす角の余弦が1/3の三角形を扱います。OAをベクトルa、OBをベクトルbとおくと、a・b＝7×3×1/3＝7です。

OAを1：2に内分するPについて、OP＝a/3。Qが線分BP上にあることから、OQ＝b＋s(a/3−b) と表せます。

OQとBPが垂直なので、次の式が成り立ちます。

［b＋s(a/3−b)］・(a/3−b)＝0

v＝a/3−bと置くと、b・v＝7/3−9＝−20/3、v・v＝49/9−14/3＋9＝88/9です。したがって、上の式は−20/3＋(88/9)s＝0となり、s＝15/22が求まります。

これをOQ＝b＋s(a/3−b)へ戻すと、aの係数はs/3＝5/22、bの係数は1−s＝7/22なので、OQ＝(5/22)a＋(7/22)bです。

辺の比を求める解説

直線OQと辺ABの交点Rを考えます。辺AB上ではOR＝(1−t)a＋tbと書け、aとbの係数の和が1になります。OQの係数比5：7を保ちながら和を1にすると、OR＝(5/12)a＋(7/12)bです。

R＝A＋(7/12)(B−A)なので、AからRまではABの7/12、RからBまでは5/12です。したがって、求めるRA/RB＝(7/12)/(5/12)＝7/5となります。

間違えやすいのは、ベクトルの係数と長さの比の対応です。RがAに近いほどbの係数は小さくなることを、図に戻って確かめておきましょう。

出典：数学の問題2・公式PDF。

物理・問題1(1)〜(5)：浮力と単振動

実際の問題文と図

(1)〜(3)：重力・浮力・つり合い

円柱の底面積をS、高さをL、密度をρ、水の密度をρ₀とします。円柱の体積はSL、質量はρSLなので、(1)の重力はρSLgです。

静止時の水中の長さをdとすると、押しのけた水の体積はSdです。浮力は押しのけた水の重さに等しいので、(2)の答えはρ₀Sdgとなります。

つり合いからρSLg＝ρ₀Sdgとなり、d＝ρL/ρ₀が求まります。

(4)：押す手の力

静止位置からx₀だけ押し下げると、水中の体積がSx₀だけ増えます。重力は変わらず、浮力がρ₀Sgx₀だけ増えるため、静かに押さえる手には同じ大きさの下向きの力が必要です。(4)の答えはρ₀Sgx₀です。

(5)：運動方程式から周期を求める

手を離した後、静止位置から下向きの変位をxとします。下向きを正とすると、重力はρSLg、上向きの浮力はρ₀S(d＋x)gです。静止時のつり合いρSLg＝ρ₀Sdgを使うと、合力は−ρ₀Sgxとなります。

したがって、運動方程式は「質量×加速度＝−ρ₀Sg×変位」です。変位と反対向きで、その大きさが変位に比例する復元力なので、単振動として扱えます。ばね定数に相当する量はρ₀Sgです。

周期 T＝2π√［質量÷復元力の係数］

T＝2π√［ρSL÷(ρ₀Sg)］＝2π√［ρL/(ρ₀g)］

底面積Sが消えることに注目してください。太い円柱ほど質量も、同じ変位による浮力の変化も大きくなるため、この条件では周期はSに依存しません。

現象が見慣れなくても、つり合いを基準に力の増減を考えると、学習済みの単振動へつなげられます。 ここでは、問題文が指定する、円柱が水面から完全に飛び出さずに振動する場合の(1)〜(5)を解説しています。

出典：物理の問題、物理の公式解答・出題意図。

化学・問題1の問1(1)：気体の状態方程式と分子量

実際の問題文

(i)：物質量を計算する条件

揮発する液体をフラスコに入れ、加熱して内部を蒸気で満たし、冷却後の質量から分子量を求める問題です。状態方程式に入れる温度と、計算に使う質量を正しく選ぶことが大切です。

加熱時の温度は77℃なので、問題で指定された換算式から77＋273＝350 Kです。圧力は1.0×10⁵ Pa、体積は0.20 L。圧力が変化せず、フラスコ内が物質Aの蒸気だけになった状態を、理想気体の状態方程式PV＝nRTへ当てはめます。

気体定数は8.3×10³ Pa・L/(K・mol)で、体積の単位Lに対応しています。Rをこの値で使うときに、Vだけをm³へ直してしまわないようにしましょう。

n＝PV/(RT)

＝(1.0×10⁵×0.20)/(8.3×10³×350)

≒6.9×10⁻³ mol

冷却後は蒸気がすべて液体になっているため、求めた蒸気の物質量は、液体の物質量でもあります。(i)の答えは、有効数字2桁で6.9×10⁻³ molです。

(ii)：冷却後の質量から分子量を求める

モル質量Mは、質量mを物質量nで割ったm/nです。冷却後に残る液体の質量0.60 gを使い、丸める前のnで計算すると、約87 g/molとなります。分子量はモル質量と同じ数値で、単位を付けないため、答えは有効数字2桁で87です。

最初に入れた液体の質量で計算すると、加熱中に小孔から出た分まで含めてしまいます。「どの時点の、どの物質の量か」を対応させてください。有効数字と単位も、最後まで確認したい点です。

出典：化学の問題、化学の公式解答・出題意図。

推薦を合格のチャンスにするために

数学では「なぜそこで場合分けするか」、物理では「どの状態を基準にするか」、化学では「どの物質量を式に使うか」。この理由まで自分の言葉で説明できると、知識の抜けに気づきやすくなります。

探究や制作に取り組んでいる人は、同じ姿勢で活動を振り返ってみてください。何を仮定し、どう測定し、結果から何を考えたかを整理すると、工学への関心を具体的に伝える材料になります。

基礎学力と説明力を固め、探究や制作などの実績を準備することで、理系の推薦は志望大学への合格を狙うチャンスになります。 過去問演習を、学んできたことや大学で取り組みたいことの説明にもつなげましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。学力対策から、資格・コンテスト・探究・制作の実績づくり、志望理由書、面接まで一貫して支えます。志望校に合わせた準備について、無料受験相談でご相談ください。

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