公立諏訪東京理科大学の推薦入試過去問解説｜数学の出題傾向と解き方【2027年度】

公立諏訪東京理科大学の学校推薦型選抜では、大学が数学の基礎力調査の過去問と解答例を公開しています。2026年度は、小問で計算力を確かめたあと、微積分や確率を段階的に考える構成でした。

公式や解法を覚えるだけでなく、「なぜその式に置き換えるか」を説明できるようにすると、初めて見る問題にも対応しやすくなります。 この記事では、2026年度の大問1〜4から、得点につながる考え方を解説します。

出典：学校推薦型選抜・公式過去問一覧、2026年度問題、公式解答・出題意図。

大問1：複素数・三角比・因数分解の基本を確認

実際の問題文

最初の大問は、分野の異なる3つの計算問題です。複素数では分母を払って実部と虚部を比べること、三角比では15度を既知の角の差で表すこと、3次式では因数定理を使うことが手掛かりになります。

複素数は、実部と虚部を別々に比較

実数a、bについて、3＋2i＋b/(3＋2i)＝aという関係が与えられます。分母をなくすため、両辺に3＋2iを掛けると、(3＋2i)²＋b＝a(3＋2i)です。

i²＝−1なので、左辺は9＋12i−4＋b＝5＋b＋12i、右辺は3a＋2aiとなります。複素数が等しいときは実部同士、虚部同士が等しいため、5＋b＝3a、12＝2aです。後者からa＝6、これを前者へ代入してb＝13となります。

複素数を含む等式で、aやbが実数と指定されていることがポイントです。実部と虚部の2本の条件へ分けられます。

15度の三角比と3次式の因数分解

tan15°はtan(45°−30°)と表し、加法定理tan(α−β)＝(tanα−tanβ)/(1＋tanαtanβ)を使います。

tan45°＝1、tan30°＝1/√3を代入すると、(1−1/√3)/(1＋1/√3)＝(√3−1)/(√3＋1)です。分子・分母に√3−1を掛けると、(4−2√3)/2＝2−√3になります。

3x³＋10x²−11x−42は、x＝2を代入すると24＋40−22−42＝0になるため、因数定理からx−2を因数に持ちます。割り算をすると、(x−2)(3x²＋16x＋21)です。

残った2次式は3x²＋9x＋7x＋21＝(x＋3)(3x＋7)なので、答えは(x−2)(x＋3)(3x＋7)となります。最後に展開して元へ戻るか検算すると、符号のミスを見つけやすくなります。

大問2：指数を一つの文字に置き換える

実際の問題文

指数不等式の解説

3の2x乗が複数の形で出てくる不等式です。t＝3^(2x)と置くと、逆数の項を9/tと表せます。tは正なので、両辺にtを掛けても不等号の向きは変わりません。

2t−9/t≦3

2t²−3t−9≦0

(2t＋3)(t−3)≦0

2次不等式の解から、t＞0という条件と共通する部分を取ると0＜t≦3。元の文字へ戻して3^(2x)≦3となり、答えはx≦1/2です。

置換した文字の範囲も、解答の一部です。t＞0を忘れずに、最後にxの条件へ戻してください。

ベクトルと対数の解説

ベクトルはa＝(2＋log₄x,1)、b＝(−1,log₂x)です。真数条件はx＞0で、垂直になる条件は内積0です。したがって、−(2＋log₄x)＋log₂x＝0となります。

底の変換からlog₄x＝log₂x/log₂4＝(1/2)log₂xです。これを代入すると−2＋(1/2)log₂x＝0なので、log₂x＝4、答えはx＝2⁴＝16です。真数条件x＞0も満たしています。

大問3：接線の条件と二つの放物線の面積

実際の問題文

係数と交点の求め方

2つの2次関数について、まず一方の曲線のx＝2における接線の傾きが与えられます。y＝ax²−6x＋5を微分し、4a−6＝2と置くことでa＝2が求まります。

もう一つの曲線はy＝−x²＋6x−4です。a＝2を代入して両式を等しくすると、3x²−12x＋9＝0、すなわち3(x−1)(x−3)＝0なので、交点のx座標は1と3です。

1＜x＜3では、後者から前者を引いた−3x²＋12x−9＝3(x−1)(3−x)が正になるため、後者が上側です。上の曲線から下の曲線を引いて面積を積分します。

面積＝1〜3における(−3x²＋12x−9)の積分＝4

積分後は−x³＋6x²−9xです。x＝3で0、x＝1で−4となるので、差は0−(−4)＝4です。

面積を2等分する縦の直線については、左側の面積を2とする方程式を立てる方法が使えます。また、曲線の差を−3(x−2)²＋3と表すと、x＝2に関して対称な形だと分かります。よって2等分する直線はx＝2です。

ここでは、単に積分の計算を進めるだけでなく、式や図形の対称性を読むと見通しがよくなります。

大問4：2本目の当たりが出る順番

実際の問題文

1人目と2人目の確率

当たり3本を含む7本のくじを、引いたあと戻さずに順番に引く問題です。1人目が当たる確率は3/7です。

2人目については、1人目が当たりの場合と外れの場合を分けます。確率は(3/7)×(2/6)＋(4/7)×(3/6)＝6/42＋12/42＝3/7です。くじを戻さなくても、1人目の結果が分からない段階では、2人目の当選確率も3/7になります。

3人目が2本目の当たりを引く確率

3番目の人が2本目の当たりを引くには、最初の2人のうちちょうど1人が当たり、3番目も当たりであることが必要です。並びは「当たり・外れ・当たり」と「外れ・当たり・当たり」の二つです。

前者は(3/7)×(4/6)×(2/5)、後者は(4/7)×(3/6)×(2/5)なので、合計は48/210＝8/35となります。

最も当たりやすい順番

最後は、k番目に2本目の当たりが出る確率です。当たりの位置3つの選び方は7C3＝35通り。k番目を2本目の当たりと固定すると、それより前の当たりを選ぶ方法はk−1通り、後の当たりは7−k通りです。

確率＝(k−1)(7−k)/35

2本目の当たりなので2≦k≦6です。分子を展開して平方完成すると、(k−1)(7−k)＝−(k−4)²＋9となり、k＝4で最大9を取ります。したがって、4番目が最も高く、その確率は9/35です。

「誰が引くか」から「当たりが何番目に並ぶか」へ視点を変えると、数え方を整理できます。

出典：各大問の条件と結果は、2026年度公式問題・解答例に対応しています。途中の考え方は本記事の解説です。

推薦を合格のチャンスにするために

この過去問では、複素数・指数対数・ベクトル・微積分・確率を横断して基本を使います。苦手な単元を放置せず、答案を見てもらいながら、どの条件を読み落としたかを確かめたいところです。

工学への関心を伝えるうえでは、プログラミングや実験、資格学習などの経験も、自分の言葉で振り返っておきましょう。学んだ内容を何に使い、どこで工夫したかが、志望理由や面接の具体性につながります。

基礎学力を固め、工学への関心を実績と自分の言葉で示せるようにすれば、理系の総合型・推薦は志望大学への合格を狙うチャンスになります。 過去問の解き直しと、探究・制作・資格学習の振り返りをつなげて準備しましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。学力問題の説明から、資格・コンテスト・探究の実績づくり、志望理由書、面接まで一貫して支えます。今の学力と活動経験から始める対策を、無料受験相談でご相談ください。

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