山口東京理科大学の推薦入試過去問解説｜数学7問の解き方【2027年度】

山陽小野田市立山口東京理科大学の2026年度学校推薦型選抜・数学は、20の小問で基礎知識の使い方が問われています。2次関数、不等式、データの分析、三角関数、微分・積分など、幅広い分野が含まれます。

基本問題でも、条件の端や、割ってはいけない値を見落とすと答えが変わります。 ここでは公開問題のうち、考え方を確認したい7問を解説します。

出典：大学公式・過去の入試問題、2026年度学校推薦型選抜・数学、大学公表の解答例・出題意図。対象は設問(5)(6)(9)(14)(15)(19)(20)です。

設問(5)：最大になる位置から、定数を決める

問題の数式・条件

y＝−x²＋mx＋1が、x＝−1で最大になるという条件です。平方完成すると、次の形になります。

y＝−(x−m/2)²＋m²/4＋1

頂点のx座標はm/2なので、m/2＝−1からm＝−2です。最大値は、m²/4＋1＝2となります。

実際にm＝−2を戻すと、y＝−x²−2x＋1＝−(x＋1)²＋2です。二乗の項は0以上なので、x＝−1で最大値2を取ることが確認できます。設問で求められている答えは、mではなくyの最大値2です。

最大になる「位置」と、そのときの「値」を分けて考えれば、定数mと最大値を取り違えずに済みます。

設問(6)：整数が1個だけ入る、開いた区間

問題の数式・条件

x²−ax＜0は、x(x−a)＜0と因数分解できます。aの符号で、解の区間が変わります。

答えは、−2≦a＜−1、または1＜a≦2です。

例えばa＝1では区間(0,1)に整数はなく、a＝2では(0,2)に整数1だけが入ります。負の場合もa＝−1では(−1,0)に整数はなく、a＝−2では(−2,0)に整数−1だけが入ります。これが、外側の2・−2には等号が付き、内側の1・−1には等号が付かない理由です。

区間の端は含まれません。a＝2なら整数2は解にならず、整数1だけが残ります。 数直線に端の開閉を描いて確かめると、等号の付け方が明確になります。

設問(9)：平均と分散を、2本の式にする

問題の数値・条件

5つのデータ11、5、7、x、yについて、平均8、分散4.8、x＜yという条件です。

平均から、11＋5＋7＋x＋y＝40、したがってx＋y＝17です。

分散は、各値と平均の差の2乗を足し、データ数で割った値です。既知の3つの値については、(11−8)²＋(5−8)²＋(7−8)²＝19。全体の2乗和は5×4.8＝24なので、残りは次の式になります。

(x−8)²＋(y−8)²＝5

y＝17−xを代入すると、

(x−8)²＋(9−x)²＝5

2x²−34x＋145＝5

x²−17x＋70＝(x−7)(x−10)＝0

なので、x＝7または10です。和が17になる組は(7,10)と(10,7)で、x＜yよりx＝7、y＝10を選びます。代入すると、平均は40/5＝8、偏差の二乗和は9＋9＋1＋1＋4＝24、分散は24/5＝4.8となり、両方の条件を満たします。

設問(14)：三角関数の平行移動は、先に係数をくくる

問題の数式・条件

cos(3θ＋π/4)は、cos{3(θ＋π/12)}と書き直せます。cos 3θのグラフをθ軸方向に−π/12だけ移動した形です。

周期Tは、3T＝2πを満たす最小の正の数なので、T＝2π/3です。同じグラフになる移動量はa＝−π/12＋(2π/3)n（nは整数）。n＝0では−π/12、n＝1では7π/12で正となり、nが負なら−π/12より小さくなります。したがって、条件にある「最大の負の数」は−π/12です。

括弧の中のπ/4を、そのまま移動量にしないようにしましょう。θの係数3をくくった後で判断する必要があります。

設問(15)：cos θで割る前に、0の場合を残す

問題の数式・条件

sin 2θ＝√3 cos θに、倍角の公式を使います。

cos θ(2sin θ−√3)＝0

左辺にはsin 2θ＝2sin θcos θを使っています。積が0になるため、cos θ＝0、または2sin θ−√3＝0です。前者はπ/2と3π/2、後者はsin θ＝√3/2よりπ/3と2π/3。0≦θ＜2πの範囲で小さい順に並べると、次の4つです。

θ＝π/3、π/2、2π/3、3π/2

最初からcos θで割ると、cos θ＝0の解を落としてしまいます。 積が0の形にしてから、それぞれの因子を調べるのが確実です。

設問(19)：面積は、曲線が軸の下にある区間を分ける

問題の数式・条件

f(x)＝x³−6x²＋8x＝x(x−2)(x−4)なので、x軸との交点は0、2、4です。

0＜x＜2ではf(x)＞0、2＜x＜4ではf(x)＜0。求める面積は、符号を調整して足します。

S＝∫₀²f(x)dx−∫₂⁴f(x)dx

原始関数はx⁴/4−2x³＋4x²です。前半の積分は4、後半は−4なので、面積の和は4−(−4)＝8となります。

原始関数をGと置くと、G(0)＝0、G(2)＝4、G(4)＝0です。したがって、前半はG(2)−G(0)＝4、後半はG(4)−G(2)＝−4と計算できます。曲線が軸の下にある後半は、符号を逆にして正の面積として加えています。

0から4まで一度に積分すると0になりますが、それは正負が打ち消された結果です。面積が0という意味ではありません。

設問(20)：積分した結果を、定数aの関数として考える

問題の数式・条件

∫₋₁²(2x−a＋1)²dxを最小にするaを求めます。積分する変数はxで、aは定数です。

積分される式を展開すると、4x²＋4(1−a)x＋(1−a)²です。−1から2までの定積分は、∫₋₁²x²dx＝3、∫₋₁²xdx＝3/2、∫₋₁²1dx＝3なので、

4×3＋4(1−a)×(3/2)＋3(1−a)²

＝12＋6(1−a)＋3(1−2a＋a²)

＝3a²−12a＋21

となります。平方完成すれば、次の形です。

3(a−2)²＋9

したがって、最小になるのはa＝2のときで、最小値は9です。積分の中の式を0にするxを探すのではなく、積分後の値がaによってどう変わるかを調べます。1か所で2x−a＋1＝0となっても、積分区間全体で二乗の値が消えるわけではありません。

理系推薦のチャンスを、基礎学力と実績で生かす

今回の7問は、平方完成、因数分解、定義、三角関数の公式、積分の符号を正確に使う練習になります。答えを覚えた後は、式を変える理由と、条件の確認を自分の言葉で説明してみましょう。

理系の推薦は、基礎学力とともに、探究・制作や資格学習で積み重ねたことを伝えられるチャンスです。 学力対策では、解けたかどうかだけでなく、条件をどこで使い、なぜその式を選んだのかまで振り返りましょう。活動についても、自分で考えたことや改善した過程を説明できる準備が大切です。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。筆記・口頭試問の考え方から、探究・制作などの実績づくり、志望理由書・面接まで相談できます。基礎問題の復習と、志望分野につながる活動の準備を、一緒に進められます。

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