大分大学の推薦過去問解説｜理工学部・基礎能力試験の数学6問【2027年度】

大分大学理工学部の2026年度学校推薦型選抜では、電気エネルギー・電子工学プログラムの基礎能力試験に、三角比、図形、正規分布、複素数、対数、定積分が出題されています。

基本事項を使い、答えだけでなく主な式や考え方を示す練習が大切です。 今回は、基礎能力試験の問題番号1にある数学【1】〜【6】を解説します。試験全体は120分で、数学以外の問題も含まれています。

出典：大分大学・2026年度電気エネルギー・電子工学プログラム学校推薦型選抜、基礎能力試験。解法と解答はスキルパスが作成したものです。

【1】tanから、直角三角形の辺の比を考える

直角三角形で、鋭角θについてtan θ＝2が与えられています。隣辺を1、対辺を2とする比で考えれば、斜辺は√5です。

したがって、sin θ＝2/√5＝2√5/5となります。

tanが「対辺÷隣辺」、sinが「対辺÷斜辺」であることを、簡単な三角形に書き込むと、比を取り違えにくくなります。

【2】内接円への接線の長さから、辺を表す

直角三角形の斜辺AB上にある接点をPとし、AP＝2、BP＝3が与えられています。内接円の半径をrとおきます。

P、Q、RをそれぞれAB、BC、CA上の接点とすると、OP、OQ、ORはいずれも半径で、接する辺に垂直です。Cの角が90°なので、四角形CQORは一辺rの正方形となり、CQ＝CR＝rです。

同じ点から円に引いた2本の接線の長さは等しいため、A側の接線部分は2、B側は3です。直角の頂点Cから接点までの長さはrなので、直角をはさむ辺は2＋r、3＋r、斜辺は5となります。

三平方の定理から、次の式が成り立ちます。

(2＋r)²＋(3＋r)²＝25

r²＋5r−6＝0

(r−1)(r＋6)＝0で、半径は正なのでr＝1です。方程式の解が2つ出ても、図形の条件に合うものを選ぶ必要があります。

【3】正規分布は、平均との差を標準偏差で割る

平均168cm、標準偏差6cmの正規分布で、180cm以上となる割合を考えます。標準化すると、Z＝(180−168)/6＝2です。

問題の表では、p(2)＝P(0≦Z≦2)＝0.4772です。求めたいのは2以上の右側の部分なので、正規分布の対称性から次のように計算できます。

P(Z≧2)＝0.5−0.4772＝0.0228

したがって、およそ2.28％です。小数0.0228を百分率に直す際は100を掛けます。

表の値が、どの範囲の確率を表しているかを確認しましょう。 0.4772をそのまま答えると、求める部分が違ってしまいます。

【4】複素数の累乗を、絶対値と偏角から求める

z＝1＋iです。まずz²＝1＋2i＋i²＝2iなので、複素数平面上では(0,2)です。

zの絶対値は√2、偏角はπ/4です。ド・モアブルの定理を使うと、3乗では絶対値を3乗、偏角を3倍にできます。

z³＝(√2)³{cos(3π/4)＋i sin(3π/4)}＝−2＋2i

図示する点は、z²が(0,2)、z³が(−2,2)です。実部を横方向、虚部を縦方向に取り、象限も確かめてください。

z³の計算はド・モアブルの定理という指定に従っています。検算として、z³＝z²z＝2i(1＋i)＝−2＋2iと直接掛けても同じ結果です。

【5】5桁になる条件を、常用対数に直す

2ⁿが5桁になる条件は、10⁴≦2ⁿ＜10⁵です。与えられたlog₁₀2＝0.3010を使うと、4≦0.3010n＜5となります。

境界の近くの整数を確かめると、0.3010×13＝3.9130、×14＝4.2140、×16＝4.8160、×17＝5.1170です。

2ⁿはnが増えると大きくなるため、13と17が範囲外で、その間の14、15、16が条件を満たすと分かります。整数で確認しても、2¹⁴＝16384、2¹⁵＝32768、2¹⁶＝65536はいずれも5桁です。よって、求める自然数はn＝14、15、16です。5桁の上限は10⁵を含まないことにも注意しましょう。

【6】3次関数の面積は、符号が変わる点で分ける

y＝−x³＋5x²−6x＝−x(x−2)(x−3)です。x軸との交点は0、2、3で、0＜x＜2では負、2＜x＜3では正となります。

原始関数をF(x)＝−x⁴/4＋5x³/3−3x²とすると、F(0)＝0、F(2)＝−8/3、F(3)＝−9/4です。

面積＝−∫₀²y dx＋∫₂³y dx

＝8/3＋{−9/4＋8/3}＝37/12

0から2までの面積は8/3、2から3までは−9/4＋8/3＝5/12です。一方、0から3までそのまま積分すると−9/4となり、面積の総和37/12とは異なります。

面積では、x軸の下にある部分も正の大きさとして足す必要があります。 0〜3を一度に積分した値は、面積の総和にはなりません。

学力の基礎を固め、実績と面接まで準備

今回の数学は、高校で学ぶ基本事項を使って進められる問題です。解き直す際は、図形の条件、確率表の範囲、積分の符号など、どこを確認すべきだったかも整理してみましょう。

電気・電子への関心は、物理検定の学習、回路製作、センサーの計測などを通して深められます。計算と実験の結果を比べ、自分が工夫したことを説明できる経験を積むことが大切です。

理系の推薦は、数学・物理の基礎と、探究や制作で積んだ経験を生かして志望校を目指せるチャンスです。 学力を確かめる対策と、自分の関心を実際の活動で深める準備を並行して進めましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。基礎学力の確認、資格・コンテストや探究の実績づくりから、出願書類・面接まで、志望分野に合わせて対策を相談できます。

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