会津大学の推薦過去問解説｜簡易テスト数学・小問6問の解き方【2027年度】

会津大学の2026年度学校推薦型選抜・簡易テスト数学では、第1問の小問集合に、数列の和、円、三角関数、指数、対称式、集合が出題されています。

小問集合でも、式をそのまま計算する前に、使える性質を見つけることが大切です。 今回は数学第1問の(1)〜(6)を、途中の考え方と一緒に解説します。

出典：会津大学・2026年度学校推薦型選抜数学。以下の解答・解説はスキルパスが作成したものです。

(1) 分母を分解して、隣り合う項を打ち消す

1/(2×3)から1/(2025×2026)までの和です。一般の項を、次のように2つの分数へ分けられます。

1/{k(k＋1)}＝1/k−1/(k＋1)

最初の数項を書くと、(1/2−1/3)＋(1/3−1/4)＋…となり、途中の分数が消えます。

残るのは、1/2−1/2026＝506/1013です。最初がk＝2であることと、最後の項から1/2026が残ることを確かめましょう。

(2) 3点を代入して、円の式の係数を決める

(0,0)、(3,3)、(0,4)を通る円を考えます。円の一般形をx²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0とおきます。

円の一般形では、x²とy²の係数が等しく、xyの項がありません。3点の条件からD、E、Fを決める方針です。

原点を代入してF＝0、(0,4)から16＋4E＝0なのでE＝−4です。(3,3)から18＋3D−12＝0で、D＝−2となります。

x²＋y²−2x−4y＝0

(x−1)²＋(y−2)²＝5

平方完成では、(x−1)²を作るために1を、(y−2)²を作るために4を加え、右辺にも計5を加えています。中心(1,2)、半径√5の円です。最後に3点を代入すると、計算の確認にもなります。

(3) 三角関数を、範囲のある2次関数へ変える

y＝cos²2x−2cos²xの最小値を求めます。t＝cos²xとおくと、0≦t≦1で、cos 2x＝2t−1です。

y＝(2t−1)²−2t＝4t²−6t＋1

＝4(t−3/4)²−5/4

平方の項4(t−3/4)²は0以上です。頂点のt＝3/4は0〜1の範囲内で実際にとれるため、最小値は−5/4です。例えばx＝π/6ならcos²x＝3/4となり、最小値を実現できます。

置き換えた変数の範囲も書くと、2次関数の頂点を使えるか判断できます。 頂点が範囲の外にある場合は、端の値も調べる必要があります。

(4) 指数の連立方程式は、対数で1次式にする

正の実数x、y、zについて、x³y²z＝8、xy³z²＝4、x²yz³＝2が与えられています。

u＝log₂x、v＝log₂y、w＝log₂zとおくと、積と累乗の条件が、次の連立方程式へ変わります。

3u＋2v＋w＝3

u＋3v＋2w＝2

2u＋v＋3w＝1

3式を足すと、u＋v＋w＝1です。これを各式から引き、2u＋v＝2、2v＋w＝1、u＋2w＝0を得ます。

2u＋v＝2からv＝2−2uです。これを2v＋w＝1へ代入すると、w＝4u−3となります。さらにu＋2w＝0へ入れると、9u−6＝0です。したがってu＝2/3、v＝2/3、w＝−1/3。元の変数に戻すと、x＝y＝2^(2/3)、z＝2^(−1/3)です。

正の実数という条件により、x、y、zの対数を取ることができます。求めた値を元の式に戻すと、指数は順に3、2、1となり、右辺の8、4、2と一致します。

対数を取った後のu、v、wと、問題で求められているx、y、zを取り違えないようにしましょう。

(5) 逆数の和は、和と積から求める

a＋b＝6、a³＋b³＝198から、1/a＋1/bを求めます。aとbを個別に求める前に、次の恒等式を使えます。

a³＋b³＝(a＋b)³−3ab(a＋b)

198＝216−18abから、ab＝1です。ab＝1なのでaもbも0ではなく、逆数を取れます。したがって、1/a＋1/b＝(a＋b)/(ab)＝6となります。

答えに必要なのが和と積だけなら、aとbを求めるための2次方程式まで解く必要はありません。

(6) 集合の重なりから、人数の最大・最小を考える

50人のうち、1問目の正解者が35人、2問目が24人です。両方に正解した人数をt人とおきます。

少なくともどちらかを正解した人数は35＋24−tで、50人以下です。よってt≧9。一方、両方の正解者は2問目の正解者24人を超えられないため、t≦24です。

1問目だけに正解した人数は35−tなので、最大は35−9＝26人、最小は35−24＝11人です。

最大・最小の端で、全領域の人数が0以上になることも確認できます。

どちらの行も合計50人で、1問目の正解者35人、2問目の正解者24人を満たします。そのため、26人と11人は単なる上限・下限ではなく、実現できる最大・最小です。

まず重なっている人数の範囲を求めると、最大・最小を整理できます。 それぞれの端の値が、実際に条件を満たすかも確かめてください。

数学の基本を、情報分野の学びと結び付ける

今回の6問では、式の分解、変数の置き換え、条件の整理が繰り返し使われています。解答を覚えるよりも、どの形へ変えれば計算しやすくなるかを説明する練習が役立ちます。

情報資格の学習や情報オリンピック、プログラム制作でも、問題を分け、条件を整理して解く経験を積めます。取り組んだ結果だけでなく、解法を選んだ理由や改善した過程も記録しておきましょう。

情報系の推薦は、数学の基礎と、プログラミングや探究で積んだ経験を生かして志望校を目指せるチャンスです。 情報オリンピック予選Bランクなどを目標に学ぶ場合も、順位や結果に加え、どのように解法を考え、実装を改善したかを説明する練習が役立ちます。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。数学・英語の基礎、情報資格やコンテストへの挑戦、探究・制作の実績づくりから、志願理由書・小論文・面接まで、現在の学力と経験に合わせて準備できます。

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