北九州市立大学の推薦過去問解説｜機械システム工学科・数学の解き方【2027年度】

北九州市立大学国際環境工学部機械システム工学科の2026年度学校推薦型選抜では、総合問題に数学と物理が出題されています。数学は、小問集合と3次関数の接線・面積の2大問です。

基本問題を正確に解き、面積では式を立てた理由まで示す準備が必要です。 今回は総合問題の数学第1問・第2問を解説します。試験全体は120分で、物理にも取り組む形式です。

出典：北九州市立大学・2026年度学校推薦型選抜、機械システム工学科総合問題。以下の解答・解説はスキルパスが作成したものです。

第1問・問1：余弦定理から角を求める

三角形の辺はAB＝2、BC＝√6、CA＝√3−1です。角Aの余弦は、余弦定理から求められます。

cos A＝{2²＋(√3−1)²−(√6)²}/{2×2×(√3−1)}＝−1/2

したがって角Aは120°です。続いて、角Aの二等分線とBCの交点をDとします。二等分線の長さの公式から、ADを求められます。

AD＝{2×AB×AC×cos(A/2)}/(AB＋AC)

＝2(√3−1)/(√3＋1)＝4−2√3

公式は三角形の面積からも導けます。AB＝c、AC＝b、AD＝dとすると、三角形ABCの面積は(1/2)bc sin Aです。一方、三角形ABDとACDの面積の和は、(1/2)(b＋c)d sin(A/2)です。両者が等しいため、sin A＝2sin(A/2)cos(A/2)を使うと、d＝2bc cos(A/2)/(b＋c)が得られます。

角A＝120°なのでcos(A/2)＝1/2です。最後の有理化では、2(√3−1)/(√3＋1)＝2(√3−1)²/(3−1)＝4−2√3となります。

第1問・問2：少なくとも一方が当たる確率

兄は当たり4本を含む10本のくじから、弟は当たり7本を含む20本から、それぞれ1本引きます。「少なくとも一方が当たる」は、「2人とも外れる」の余事象です。

2人とも外れる確率は、(6/10)×(13/20)＝39/100。求める確率は1−39/100＝61/100です。

別々の店のくじを引くため、互いのくじの本数は変わらず、それぞれの確率を掛けられます。「少なくとも一方」は、一方だけの当たりと両方の当たりを含みます。

直接計算でも、兄のみの当たり(4/10)×(13/20)、弟のみの当たり(6/10)×(7/20)、両方の当たり(4/10)×(7/20)の和は61/100となり、余事象の計算と一致します。

第1問・問3：多項式の余りを1次式とおく

P(x)をx−1で割った余りが3、x＋4で割った余りが−7です。求めるのは、(x−1)(x＋4)で割った余りです。

P(x)＝(x−1)(x＋4)Q(x)＋ax＋bと書けば、x＝1、−4でQ(x)を含む項が0になります。余りをax＋bとおくと、P(1)＝3、P(−4)＝−7から、a＋b＝3、−4a＋b＝−7です。連立してa＝2、b＝1。余りは2x＋1です。

2次式で割るとき、余りの次数は2未満です。最初から定数と決めないことが大切です。

第1問・問4：対数の真数条件を先に書く

2log₂(5−x)≧log₂(x＋7)では、5−x＞0、x＋7＞0が必要なので、−7＜x＜5です。

真数が正の範囲で2log₂(5−x)＝log₂{(5−x)²}です。底2は1より大きく対数関数が増加するため、(5−x)²≧x＋7と変形できます。整理すると、(x−2)(x−9)≧0です。

x≦2またはx≧9を、真数条件と重ねると、答えは−7＜x≦2となります。

変形後の不等式の解を、そのまま最終解答にしないようにしましょう。 元の対数が定義される範囲との共通部分が答えです。

第1問・問5：100番目が入る群を探す

第k群にk個の項があり、その項がk²/1、k²/2、…、k²/kと並ぶ数列です。第13群までの項数は13×14/2＝91、第14群までなら105です。

91＜100≦105なので、100番目は第14群です。直前までに91項あるため、群の中では100−91＝9番目となります。したがって、14²/9＝196/9となります。

群数を求めた後、その群の何番目かを計算する手順を忘れないようにしましょう。

第2問・問1：接線の傾きから接点を決める

f(x)＝−x³＋6x²−9x＋5です。直線y＝3x＋1に平行な接線の傾きは3なので、f′(x)＝3を解きます。

f′(x)＝−3x²＋12x−9＝−3(x−2)²＋3より、接点のx座標は2です。f(2)＝3なので、接線はy−3＝3(x−2)、すなわちy＝3x−3です。

平行であることから分かるのは傾きです。切片まで同じになるわけではありません。

第2問・問2：2点を結ぶ直線を求める

曲線上の点は(1,f(1))＝(1,1)、(3,f(3))＝(3,5)です。2点を結ぶ直線Lの傾きは(5−1)/(3−1)＝2なので、Lはy＝2x−1となります。

この直線が、次の面積問題の境界です。前の設問の接線とは別の直線なので、記号と式を整理しておきましょう。

第2問・問3：区間の途中でも、上下関係を確認

曲線と直線の差は、次のように因数分解できます。

f(x)−(2x−1)＝−(x−1)(x−2)(x−3)

1≦x≦3の途中、x＝2でも交差します。1＜x＜2では直線が上、2＜x＜3では曲線が上です。

区間ごとに書けば、S＝−∫₁²{f(x)−(2x−1)}dx＋∫₂³{f(x)−(2x−1)}dxです。負の側にマイナスを付け、図形の面積を正にしています。

u＝x−2と置き換えると、差はu−u³となります。左右で符号が反対なので、面積は次のように求められます。

S＝2∫₀¹(u−u³)du＝2(1/2−1/4)＝1/2

差の関数u−u³は奇関数なので、−1から1までそのまま積分すると0です。それは符号付きの積分であり、今回求める図形の面積ではありません。

積分区間が指定されていても、その途中で2つのグラフが交差することがあります。 差が0になる点と、各区間の符号を確認する必要があります。

数学・物理の基礎と、制作経験を結び付ける

今回の数学では、条件を式に直すことと、計算後に元の条件へ戻って確認することが大切です。特に面積の問題は、答えを導く過程も記す指定があります。

物理検定の学習や模型の設計・製作、運動の計測などに取り組んだ経験も、機械工学への関心を深める機会になります。自分が何を計算し、実物でどう確かめたかまで説明できるように整理しましょう。

理系の推薦は、数学・物理の基礎を固め、探究や制作の経験も生かして志望校を目指せるチャンスです。 計算の結果だけでなく、なぜその式や方法を選んだかを説明する練習を重ねましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。数学・物理の基礎、資格やコンテストへの挑戦、実績づくりから書類・面接まで、志望分野に合わせた対策を相談できます。

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