京都府立大学の推薦過去問解説｜生命化学科・総合問題の数学5問【2027年度】

京都府立大学生命化学科の2026年度学校推薦型選抜では、総合問題の数学に、対称式、指数方程式、空間の軌跡、微分、数列の和が出題されています。

短い設問でも、式を立てる理由と計算過程を示すことが大切です。 今回は、総合問題の大問2にある数学の問1〜問5を解説します。総合問題には、数学以外の分野も含まれています。

出典：京都府立大学・2026年度生命化学科学校推薦型選抜、総合問題冊子5ページ。以下の解法・解答はスキルパスが作成したものです。

問1：和と2乗の和から、積を求める

2つの実数をa、bとします。a＋b＝2、a²＋b²＝2√2から、abを求められます。

2ab＝(a＋b)²−(a²＋b²)＝4−2√2

ab＝2−√2

(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³で、中間の二つの項は3ab(a＋b)とまとめられます。したがって3乗の和には、a³＋b³＝(a＋b)³−3ab(a＋b)を使います。代入すると、8−6(2−√2)＝6√2−4です。

続いて、a、bを解にもつ2次方程式はt²−2t＋2−√2＝0です。平方完成すると、(t−1)²＝√2−1なので、2つの実数は1＋√(√2−1)、1−√(√2−1)となります。

和、積、2次方程式という順に進めると、未知数を個別に求める前に計算を整理できます。

問2：指数方程式を、正の変数の2次方程式へ

4ˣ−2ˣ⁺¹−48＝0を解きます。u＝2ˣとおくと、4ˣ＝u²、2ˣ⁺¹＝2uです。

u²−2u−48＝(u−8)(u＋6)＝0

u＝8または−6ですが、u＝2ˣは正なので−6は使えません。2ˣ＝8より、答えはx＝3です。

置き換えた変数の条件まで書くことで、不適切な解を除けます。 最後は元の変数xに戻してください。

問3：距離の比を、座標の式へ直す

原点OとA(3,1,1)からの距離の比がOP：AP＝2：1となる点Pの軌跡です。P(x,y,z)とおくと、OP²＝4AP²です。

x²＋y²＋z²＝4{(x−3)²＋(y−1)²＋(z−1)²}

展開して右辺から左辺を引くと、3x²＋3y²＋3z²−24x−8y−8z＋44＝0です。3で割って各変数の平方を作ります。

x²−8x＋y²−(8/3)y＋z²−(8/3)z＝−44/3

左辺に16＋16/9＋16/9を加え、右辺にも同じ数を加えると、次の式になります。

(x−4)²＋(y−4/3)²＋(z−4/3)²＝44/9

したがって、中心(4,4/3,4/3)、半径2√11/3の球面です。空間の点の軌跡なので、円周や球の内部と取り違えないようにしましょう。

例えばP(2,2/3,2/3)では、OP＝2√11/3、AP＝√11/3で、比は2：1です。この点は球面の式も満たします。

この球面上の点から元の距離の比も確認できます。平方した距離はともに0以上で、OもAもこの球面上にはないため、距離の比の条件と対応します。

問4：2次関数と導関数を代入し、係数を比べる

2f(x)＋xf′(x)＝−12x²＋3x−8を満たす2次関数を考えます。f(x)＝ax²＋bx＋cとおけば、f′(x)＝2ax＋bです。

左辺は、2(ax²＋bx＋c)＋x(2ax＋b)＝4ax²＋3bx＋2cとなります。

右辺と係数を比べると、4a＝−12、3b＝3、2c＝−8。したがって、f(x)＝−3x²＋x−4です。

特定のxをいくつか代入する方法よりも、恒等式の係数を比較すると計算をまとめられます。

問5：数列の和を2倍し、項をずらして引く

S＝Σₖ₌₁ⁿ k・2ᵏを求めます。等差数列と等比数列の積なので、2SとSを並べ、同じ2の累乗をそろえる方法が使えます。

S＝1・2＋2・2²＋…＋n・2ⁿ

2S＝1・2²＋2・2³＋…＋n・2ⁿ⁺¹

2S−Sを取ると、途中の係数の差は−1となります。

S＝n・2ⁿ⁺¹−(2＋2²＋…＋2ⁿ)

＝n・2ⁿ⁺¹−(2ⁿ⁺¹−2)

＝(n−1)2ⁿ⁺¹＋2

n＝1なら2となり、最初の項と一致します。n＝2でも、元の和は2＋8＝10で、式は(2−1)2³＋2＝10となります。端の項の残し方を間違えやすいので、小さいnで確認してみましょう。

計算過程を説明する力を、推薦対策へ

今回の5問は、対称式、置き換え、平方完成、係数比較など、基本的な道具の使い分けが中心です。解答を見て分かった問題も、自分で式を立てるところから解き直すことが大切です。

化学検定・生物検定の学習、実験・観察、データの整理などでも、条件をそろえて結果を確かめる経験を積めます。数値や結果だけでなく、方法を選んだ理由や、残った疑問まで整理すると、志望理由や面接にもつながります。

理系の推薦は、数学の基礎と、生命・化学への関心を深めてきた経験を生かして志望校を目指せるチャンスです。 答えを求める練習に加え、考え方や途中の判断を説明する練習も重ねましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。学力の基礎、資格・コンテストや探究の実績づくりから、出願書類・面接まで、自分の関心に合わせて対策を相談できます。

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