兵庫県立大学の推薦入試過去問解説｜社会情報科学部の数学3題を詳解【2027年度】

兵庫県立大学社会情報科学部の2026年度学校推薦型選抜では、60分の適性検査として数学3題が出題されました。三角形の面積、対数方程式、円の接線の証明、三角関数、確率を扱う問題です。

高校数学の基本を、定義域・変数の範囲・場合分けまで正確に使えるかが問われています。 実際の問題の数式をTeXで掲載し、全10小問の途中式と考え方を解説します。

出典：大学公式・推薦過去問一覧、2026年度社会情報科学部・適性検査、大学公表の解答・出題意図。解説と途中式はスキルパスが作成しました。この記事では数学3題を扱います。

第1問：面積・対数・円の接線

（1）三辺から面積を求める

三辺が与えられているので、まず余弦定理で角Aを求められます。角Aに隣り合う辺が3と5、向かい合う辺が7です。この対応をそろえると、角Aの余弦はマイナス2分の1になります。

三角形の内角は0より大きく180度未満なので、角Aは120度で、その正弦は2分のルート3です。あとは「隣り合う二辺の積×正弦÷2」を使えば、面積が求まります。

余弦が負だからといって、正弦まで負にしないようにしましょう。辺と角の対応を図に書き込むと、余弦定理で引く辺を取り違えにくくなります。

（2）真数条件と底の変換

対数が定義されるためには、二つの真数がともに正である必要があります。条件を合わせるとxは1より大きい範囲です。

底9の対数を底3へ直すと、右辺に2分の1が付きます。両辺を2倍してから対数の性質を使えば、二次方程式へ変形できます。

解の候補は二つありますが、小さい方は1未満です。最初の真数条件に合わないので、答えには残せません。式変形の後に、元の式が定義される範囲へ戻って確認することが要点です。

（3）接線の公式を証明する

大学の解答では、この小問の証明は省略されています。ここでは、半径と接線の垂直関係から式を導き、接点が一つであることまで確かめました。

原点からPへ向かうベクトルは、接線に垂直な方向を表します。Pを通る条件と合わせて直線の式を立て、Pが円上にある条件を使うと、求める式になります。

さらに、その直線と円に共通する点Qを考えると、Pとの距離の二乗が0になります。したがって共通点はPだけです。pやqで割る方法を避けているので、Pが座標軸上にある場合も同じ説明で扱えます。

「公式を知っていること」と「公式が成り立つ理由を示すこと」は、別々に練習しておきましょう。

第2問：三角関数の合成と最小値

（1）加法定理で係数を比べる

右辺の三角関数を加法定理で展開すると、正弦の項と余弦の項が現れます。それぞれの係数が左辺と同じになる条件を立てると、振幅と位相を決められます。

rが正という条件から振幅はルート2です。余弦と正弦がともに正になることと、指定された角度の範囲から、位相は円周率の4分の1になります。

（2）指定区間で値の範囲を求める

合成後の角は45度から135度まで動きます。この区間の正弦は、両端で2分のルート2、中央の90度で1です。振幅のルート2を掛けると、求める範囲が得られます。

正弦は通常マイナス1から1まで動きますが、この設問では角度が制限されています。三角関数の一般的な値域を、そのまま答えに使わないことが大切です。

（3）置換と等号条件

正弦と余弦の和をtとおくと、その二乗には2倍角の正弦が含まれます。この関係を利用して、分子もtの式へ直すのが解法の中心です。

変形後は、式から2を引くと「平方÷正の数」になります。平方は0以上なので、最小値の候補が2だと分かります。

そこで終わらず、等号が成立するtが指定範囲に含まれるかを確認し、元の角度へ戻してください。等号は和が1のときに成立し、区間の両端が答えになります。微分を使わなくても、前の小問で得た範囲と平方の性質で解ける問題です。

最小値を出した後は、その値を実際にとれる条件まで答えましょう。

第3問：場合分けと条件付き確率

（1）（2）硬貨の結果も確率に含める

最初の二つの小問は、硬貨の結果と目の和が同時に指定されています。サイコロの出方の確率だけではなく、硬貨が表または裏になる確率も掛ける必要があります。

サイコロは区別して数えます。例えば3個の和が6なら、1・1・4の並べ替えが3通り、1・2・3が6通り、2・2・2が1通りで、合計10通りです。同じ数字を含む場合は並べ替えの数が変わるため、全部を6通りとして扱うと重複します。

（3）表と裏の二つの経路を足す

目の和だけが5と分かっている場合、表から2個を投げる経路と、裏から3個を投げる経路の両方があります。二つを別々に数えてから足しましょう。

2個の場合は36通り、3個の場合は216通りが全体です。分母が異なる二つの出方を、単純に「4通りと6通りを足して10通り」として同じ分母で割ることはできません。硬貨の確率も含めた上で、確率同士を足す必要があります。

（4）条件付き確率の分母を選ぶ

この小問では、和が5だった結果だけに対象を絞っています。その中で、表から来た結果がどれだけあるかを求めるので、分母は前の小問で出した5/72です。

表と和5が同時に起こる確率を、この分母で割ると5分の4になります。硬貨自体は公平でも、和が5という情報を得た後の表の確率が2分の1とは限りません。サイコロ2個と3個では、和5の起こりやすさが異なるためです。

条件付き確率では、分母が「条件を満たす結果全体」になっているかを確認してください。

基礎の説明力と実績づくりを推薦対策へ

解き直しでは、対数の真数条件、置換した変数の範囲、サイコロの区別、条件付き確率の分母を、自分の言葉で説明してみましょう。答えが合っていても、条件や根拠が書けなかった箇所は、答案を見ずにもう一度たどると理解を確かめられます。

この3題では、解法を支える高校数学の基礎を着実に身に付けることが有効です。理系・情報系の推薦では、それに加え、資格やコンテスト、探究・制作の経験を、何を考え、試し、学んだのかまで説明する準備が役立ちます。

理系・情報系の推薦入試は、基礎学力と自分の取組を伝えて志望校へ挑戦できるチャンスです。 数学への対策と並行して、書類や面接で語る実績づくりも進めましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。数学の理解を深める学習から、実績づくり、志望理由書・小論文・面接まで、自分の課題に合わせて推薦対策を相談できます。

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