筑波技術大学の推薦入試過去問解説｜適性検査の放物線・円を10小問詳解【2027年度】

筑波技術大学の2026年度学校推薦型選抜・適性検査から、第3問と第4問の全10小問を解説します。第3問は放物線と直線、第4問は対称点と円の問題です。答えだけでなく、式を立てる理由、面積を求める区間、動点の範囲まで、TeXの数式と独自の図で確認できます。

面積の問題では、何を底辺とし、どこからどこまでを求めるのかを先に整理することが大切です。 第3問では二つのグラフの上下関係、第4問では底辺からの距離が、解法を考える手がかりになります。

出典：大学公式・聴覚障害系の過去問、2026年度適性検査の実問題、公式の出題意図・解答例。問題冊子4～5ページが対象です。検査全体は90分で、途中の計算と考え方も記入する指示があります。以下の途中式と解答図はスキルパスが作成しました。

本記事は聴覚障害系の入試ページに公開された問題を扱っています。出願にあたっては、大学公式の入学資格も確認してください。

第3問：放物線と直線の実問題・詳解

(1) 平方完成で頂点を求める

二次関数を「二乗の項と定数」の形に直すと、頂点の座標が分かります。今回は二乗の項の係数が負なので、下に開く放物線です。平方完成した式から、頂点は座標が2と6の点になります。

(2) 接点と接線の傾きを別々に求める

接線の傾きは、関数を微分し、接点のx座標を代入すれば求められます。ここでは傾きが4です。接点のy座標は元の関数から求めるため、接点は原点ではなく、座標が0と2の点です。

傾き4だけを使って「y＝4x」とすると、接点を通りません。点を通る直線の式に、接点と傾きの両方を代入しましょう。

(3) 共有点がある条件を判別式で表す

放物線と直線が共有点を持つとき、その点では二つの関数の値が等しくなります。等式を整理して得られる二次方程式が、実数解を持つ条件を考えます。

判別式は12－4aなので、これが0以上となる範囲が答えです。「共有点を持つ」には、一点で接する場合も含まれます。 判別式を0より大きい場合だけに限定すると、a＝3を落としてしまいます。

平方完成による別の見方もあります。二つの関数の差は、マイナスの二乗の項と「3－a」の和です。その差の最大値が0以上なら、二つのグラフは交わるか接します。この考え方でもaは3以下と分かります。

(4) x座標を求めた後、y座標も確認する

a＝－1を代入して整理すると、二次方程式は因数分解できます。x座標は－1と3です。それぞれを直線の式に代入すると、交点は（－1，－3）と（3，5）になります。

設問が求めているのは交点の座標なので、xの値二つだけでは答えが完結しません。元の放物線の式にも代入して、どちらの式でも同じy座標になるか確かめると安心です。

(5) 上のグラフから下のグラフを引いて積分する

積分区間は二つの交点のx座標から、－1から3までです。この区間で関数の差を因数分解すると、二つの因数がともに0以上になります。したがって放物線が上、直線が下です。

面積は上下の差を積分して32/3です。計算では下端の代入結果が－5/3なので、それを引くと足し算になります。上端と下端を別々に計算してから引くと、符号の間違いを防ぎやすくなります。

図からも、求める領域は放物線と直線の間だと分かります。放物線とx軸の間の面積を求めたり、直線を引かずに積分したりしないようにしましょう。

第4問：対称点と円の実問題・詳解

(1) 対称軸は、二点を結ぶ線分の垂直二等分線

点Aと対称な点A′を結ぶ直線は、対称軸である直線ℓに垂直です。ℓの傾きは2なので、AA′の傾きは－1/2となります。点Aを通る条件から、AA′の方程式が得られます。

これをℓと連立すると、交点Bは（－1，3）です。対称移動ではBが線分AA′の中点なので、A′の各座標は「Bの座標の2倍からAの座標を引いたもの」となります。答えはA′（3，1）です。

対称点では、軸に垂直であることと、軸が二点の中点を通ることの両方が必要です。 垂線上にあるという条件だけでは、A′の位置を一つに決められません。

(2) 三点から円の中心と半径を求める

A′（3，1）とC（－3，1）はy座標が同じで、線分A′Cの中点はy軸上です。その垂直二等分線もy軸なので、円の中心のx座標は0です。

中心を（0，k）とおき、A′とBまでの距離の二乗が等しいとすると、k＝0が得られます。中心は原点で、半径の二乗は10です。よって円の方程式は、xの二乗とyの二乗の和が10となる式です。

円の一般式を立てて三点を代入する方法も使えますが、同じy座標の二点があることに気づくと、未知数を減らせます。

(3) 二つの共有点を区別し、直角を利用する

直線ℓの式を円の式に代入すると、x座標は－1と－3です。このうち－1はすでに求めた点Bなので、もう一つの共有点Dは（－3，－1）です。最初から与えられた点C（－3，1）とは、y座標の符号が違います。

BDは直線ℓ上にあり、A′Bはℓに垂直です。したがって三角形A′BDはBを直角とする三角形です。直角を挟む二辺の長さは、ともに2√5なので、面積は10になります。

(4) 面積が10以上になる条件を、高さの条件に直す

点Eが動いても、三角形A′BEの底辺をA′Bに選べば、その長さは変わりません。変わるのは、点Eから直線AA′までの距離です。点と直線の距離の公式を使うと、面積は「x＋2y－5」の絶対値になります。

その面積が10以上となる条件は、x＋2yが－5以下、または15以上です。ただし、Eは半径√10の円周上にあるので、x＋2yの絶対値は最大でも5√2です。15以上になる場合はありません。

境界線と円の交点はD（－3，－1）とF（1，－3）です。求めるEの位置は、境界線より下側にある、DからFまでの円弧です。x座標は－3以上1以下、y座標は－√10以上－1以下となります。

Eが動くのは円周上です。座標の範囲を満たす長方形の中を、自由に動けるわけではありません。 円の式と面積の条件を同時に満たすことが必要です。

また、y座標の最小値は、円弧の両端だけでは決まりません。この円弧は円の最下点を含むため、最小値は－3ではなく－√10です。端点だけでなく、円弧の途中に最下点があるかまで確認しましょう。

(5) 底辺から最も遠い円周上の点を求める

面積を最大にするには、点Eから直線AA′までの距離を最大にすればよいことが分かります。円周上でx＋2yが最も小さくなるのは、原点からベクトル（1，2）と反対向きに進んだ点です。

円の半径が√10なので、その点はE（－√2，－2√2）です。円の式に代入すると確かに半径の条件を満たし、x＋2yは－5√2になります。面積の式に戻すと、最大値は5＋5√2です。

「円の一番下の点だから最大」と考えるのは適切ではありません。底辺A′Bは水平ではないため、y座標の小ささではなく、斜めの底辺からの距離を比べる必要があります。

見直しでは、条件を式に戻して確かめる

第3問では、接線が接点を通るか、共有点の条件に接する場合が含まれているか、積分の上下が合っているかを確認しましょう。面積が負になった場合は、上下を逆に引いていないかを見直す手がかりになります。

第4問では、求めた点が直線や円の式を満たすかを代入で確認できます。最大面積を与える点についても、円周上にあることと面積条件を同時に確かめると、途中の符号や点名の間違いに気づきやすくなります。

公式の解答例と答えが一致していても、なぜその式を使うのかを説明できるかまで確認してください。特に対称移動の二条件、面積と高さの関係は、別の座標でも使える考え方です。

理系推薦は、基礎学力と考える過程を示せるチャンス

今回の適性検査は、公式の出題意図でも、文章・図形・数式の理解や、数学的・論理的な思考力を問うと説明されています。基礎となる公式を覚えた後に、条件に合う使い方を考え、途中の理由まで書けるようにすることが大切です。

理系の総合型・推薦対策では、教科の学習と並行して、探究や制作でどのように考えたかを説明する準備もできます。例えば、プログラムで図形を描いて予想を立て、数式で確かめた経験なら、計算結果だけでなく、予想と検証の過程を振り返る練習につながります。

過去問は、解けたかどうかに加え、考え方が読み手に伝わる答案になっているかまで添削を受けましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。小論文・適性検査・口頭試問、志望理由書、面接、実績づくりまで、志望校と本人の経験に合わせた対策を支えます。

筑波技術大学の志望理由書例文｜総合型・推薦対策【2027年度】