高知工科大学の総合型過去問解説｜システム工学群・数学4題の解き方【2027年度】

高知工科大学の2026年度システム工学群・総合型選抜の数学では、微分・積分、ベクトル、三角関数、指数・対数が出題されました。1つの大問の中で、前の計算を使いながら次の設問へ進む構成です。

基本的な公式を使えることに加え、定義域や図形の位置関係を正確に読むことが大切です。 大学公式の問題に沿って、4題すべての考え方を解説します。

出典：高知工科大学・公式過去問一覧、2026年度システム工学群総合型・数学。以下は公開問題から導いた解答・解説です。

問1：3次関数の極値、接線、面積をつなげる

問題の数式・条件

(1) 導関数の符号から極大値を求める

f(x)＝x³−x²−5x＋7について、最初に微分します。

f′(x)＝3x²−2x−5＝(3x−5)(x＋1)

導関数はx＜−1で正、−1＜x＜5/3で負、x＞5/3で正です。x＝−1では増加から減少へ変わるため、ここで極大となります。f(−1)＝−1−1＋5＋7＝10なので、極大値は10です。もう一方のx＝5/3では、減少から増加へ変わります。

(2) 接点の座標と傾きから接線を決める

次にx＝2での接線です。f(2)＝1、f′(2)＝3なので、接線はy−1＝3(x−2)、すなわちy＝3x−5です。

(3) y軸を左端として、上下の差を積分する

面積の左端はy軸のx＝0、右端は接点のx＝2です。曲線と接線の差を因数分解すると、次の形になります。

f(x)−(3x−5)＝(x−2)²(x＋3)

この区間では(x−2)²≧0かつx＋3＞0なので、曲線が上、接線が下です。

S＝∫₀²(x³−x²−8x＋12)dx

＝[x⁴/4−x³/3−4x²＋12x]₀²

＝4−8/3−16＋24＝28/3

接線だから必ず曲線の下にある、と決めつけず、差の符号で上下を確認しましょう。 3次関数では、見る範囲によって位置関係が変わることがあります。

問2：2通りに表した位置ベクトルの係数を比べる

問題の数式・条件

三角形OABで、CはOAの中点、DはABを1：2に内分する点、PはODとBCの交点です。OA＝a、OB＝bと表します。

内分点の公式より、OD＝(2a＋b)/3です。OP＝tODとおくと、次のように表せます。

OP＝(2t/3)a＋(t/3)b

一方、PはBC上にもあるので、BP＝uBCと置くと、OP＝OB＋u(OC−OB)＝(u/2)a＋(1−u)bと表せます。三角形の2辺を表すa、bは平行ではないため、それぞれの係数を比較できます。

2t/3＝u/2、t/3＝1−u

u＝4t/3を代入すると、t/3＝1−4t/3

5t/3＝1より、t＝3/5、u＝4/5

したがって、OP＝(2/5)a＋(1/5)bです。t、uはどちらも0と1の間なので、求めた交点は両方の線分上にあります。また、OP:PD＝3:2です。

最後に、OA＝2、OB＝3、∠AOB＝60°より、a・b＝2×3×cos 60°＝3です。長さの2乗を計算すると、次のようになります。

|OP|²＝(4/25)×4＋(4/25)×3＋(1/25)×9＝37/25

展開では、(2a/5＋b/5)・(2a/5＋b/5)＝4|a|²/25＋4(a・b)/25＋|b|²/25です。交差項が2倍になることを忘れないようにしましょう。長さは正なので、答えはOP＝√37/5です。2つの位置ベクトルを足したときの長さは、長さ同士の足し算では求められません。内積まで含めて計算してください。

問3：三角関数を合成し、角度の範囲を戻す

問題の数式・条件

y＝sin 2x＋2sin²xについて、2sin²x＝1−cos 2xを使います。

y＝sin 2x−cos 2x＋1

＝√2 sin(2x−π/4)＋1

問(1)への答えは最初の行です。続く小問では、同じ式を1つの正弦関数に合成した2行目を使うと、最大値と不等式を考えやすくなります。

xが実数全体を動くとき、最大値は1＋√2です。そのときの条件は2x−π/4＝π/2＋2kπなので、x＝3π/8＋kπとなります。最大値をとるxのうち、最小の正の値は3π/8です。

次に、0≦x≦πでy＞2を解きます。合成した式から、sin(2x−π/4)＞1/√2。角度の範囲も−π/4≦2x−π/4≦7π/4となります。

この中で条件を満たすのは、π/4＜2x−π/4＜3π/4です。元のxに戻すと、π/4＜x＜π/2となります。

両端のx＝π/4、π/2ではy＝2であり、「＞2」の解に含まれません。区間内のx＝3π/8では最大値1＋√2＞2を取るため、解の区間とも整合します。

角度を置き換えたら、変数の範囲も一緒に置き換えることが大切です。 単位円で解いた後、元の変数に戻すところまで確認しましょう。

問4：指数の統一、対数の定義域、桁数の条件

問題の数式・条件

(1) 3つの数の大小

a＝4√2、b＝³√32、c＝(1/2)⁻³を、すべて底2の指数で表します。順に2^(5/2)、2^(5/3)、2³となるため、指数を比べてb＜a＜cです。

(2) 底が異なる対数方程式

log₃(2x−5)＝2＋log₁/₃(x−1)では、まず真数が正という条件からx＞5/2です。

底の変換で、log₁/₃(x−1)＝log₃(x−1)/log₃(1/3)＝−log₃(x−1)です。これを左辺へ移し、真数が正の範囲で対数の和をまとめると、log₃{(2x−5)(x−1)}＝2となります。

積を3²＝9とおくと、2x²−7x−4＝(2x＋1)(x−4)＝0なので、x＝4、−1/2です。定義域を満たす答えはx＝4だけです。元の式でも、左辺はlog₃3＝1、右辺は2＋log₁/₃3＝2−1＝1となります。

(3) 6のn乗が10桁になる条件

10桁の整数である条件は、10⁹≦6ⁿ＜10¹⁰です。log₁₀6＝log₁₀2＋log₁₀3＝0.3010＋0.4771＝0.7781なので、常用対数を取ると9≦0.7781n＜10となります。

nは自然数なので、条件を満たすのはn＝12です。11を代入すると8.5591で9に届かず、12では9.3372、13では10.1153で10を超えます。6¹²＝2,176,782,336が実際に10桁であることでも確認できます。

総合型のチャンスを、数学の理解と実績で生かす

今回の4題では、複雑な計算に入る前に、曲線の上下、ベクトルの表し方、角度の範囲、対数の定義域を決めています。解答を書き直すときは、数式だけでなく、なぜその式を使えるかを一言添える練習が有効です。

理系の総合型・推薦は、基礎学力に加え、探究や制作で積み重ねた実績を伝えられるチャンスです。 数学でも活動の説明でも、結果と一緒に、自分が選んだ方法や工夫を説明できる準備が大切です。

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