前橋工科大学の総合型過去問解説｜基礎学力検査・数学5問の解き方【2027年度】

前橋工科大学の2026年度総合型選抜・基礎学力検査の数学は、解と係数、三角関数、対数、面積、数列の和という5問です。基本的な知識を使い、式を扱いやすい形へ変える力が問われています。

答えにたどり着くまでの見通しを立て、計算後に条件と照合することが大切です。 大学公式の問題と解答に沿って、5問を解説します。

出典：前橋工科大学・公式過去問一覧、2026年度総合型・数学問題、大学公表の解答。

問1：解を1つずつ求めず、和と積を利用

3x²＋7x−6＝0の解をα、βとし、新しい解がα＋2、β＋2となる2次方程式を考えます。

解と係数の関係から、α＋β＝−7/3、αβ＝−2です。新しい解の和と積を計算しましょう。

和：(α＋2)＋(β＋2)＝−7/3＋4＝5/3

積：(α＋2)(β＋2)＝−2＋2×(−7/3)＋4＝−8/3

解をr、sとする2次方程式は、先頭の係数が3なら3{x²−(r＋s)x＋rs}＝0です。求める式が3x²＋px＋q＝0なので、−p/3＝5/3、q/3＝−8/3です。したがってp＝−5、q＝−8となります。

別の確認方法として、新しい変数をyとし、元の式のxへy−2を代入できます。3(y−2)²＋7(y−2)−6＝3y²−5y−8となり、同じ結果です。

問2：4乗の和を、2乗の和と積に直す

cos θ＝(√6＋√2)/4から、sin⁴θ＋cos⁴θを求めます。sin θ自体を求めるより、恒等式を使うと計算をまとめられます。

sin⁴θ＋cos⁴θ＝(sin²θ＋cos²θ)²−2sin²θcos²θ

与式を2乗すると、cos²θ＝(6＋2＋2√12)/16＝(2＋√3)/4、sin²θ＝1−cos²θ＝(2−√3)/4です。両者の積は{(2＋√3)(2−√3)}/16＝1/16なので、求める値は1−2/16＝7/8です。

式の形を見て、何を求めれば十分かを決めると、不要な平方根の計算を減らせます。

問3：桁数は、10の何乗の間にあるか

48¹⁰⁰の桁数を求めます。48＝2⁴×3なので、与えられた常用対数から、log₁₀48＝4×0.3010＋0.4771＝1.6811です。

自然数Nがd桁なら、10^(d−1)≦N＜10^dです。対数をとるとd−1≦log₁₀N＜dなので、dは対数の整数部分に1を加えた数になります。

48の100乗の対数は168.11。つまり、10¹⁶⁸＜48¹⁰⁰＜10¹⁶⁹なので、169桁です。

対数の整数部分168を、そのまま桁数にしないようにしましょう。例えば10²＝100が3桁になることと対応させると、整数部分に1を足す理由を確かめられます。

問4：2点を通る直線を決め、曲線との差を積分

放物線y＝x²−2x＋3上の2点(0,3)、(3,6)を結ぶ直線の傾きは、(6−3)/(3−0)＝1です。したがって直線はy＝x＋3となります。

直線から放物線を引くと、(x＋3)−(x²−2x＋3)＝x(3−x)。0≦x≦3では0以上なので、直線が上にあります。

曲線と直線の交点は、x²−2x＋3＝x＋3からx(x−3)＝0、すなわちx＝0、3です。これが積分する範囲になります。

面積は、∫₀³(3x−x²)dx＝［3x²/2−x³/3］₀³＝9/2です。

交点、上下関係、積分の範囲を順に決めることで、図の印象だけに頼らず計算できます。

問5：有理化すると、隣り合う項が消える

1/{√(2k＋1)＋√(2k−1)}を、k＝1から24まで足す問題です。分母の和に対し、差を掛けて有理化します。

1/{√(2k＋1)＋√(2k−1)}

＝{√(2k＋1)−√(2k−1)}/2

分母は(2k＋1)−(2k−1)＝2です。最初の数項を並べると、次のようになります。

{(√3−1)＋(√5−√3)＋(√7−√5)＋…＋(√49−√47)}/2

途中の項が打ち消し合い、(√49−1)/2＝3となります。

一般に、k＝1からnまでの和は{√(2n＋1)−1}/2です。最後の項で残るのは√(2n＋1)で、引く側の根号ではありません。n＝24を代入し、√49＝7から(7−1)/2＝3と確かめられます。

数列の和では、一般項を変形した後に最初の数項を並べると、打ち消し合う構造が見つかることがあります。

総合型は、数学の基礎と探究の実績を生かすチャンス

今回の5問は、公式を知っていることに加え、使う形を選ぶ練習になります。過去問を解いた後は、どの式に注目し、なぜその変形を選んだかまで説明してみましょう。

理系の総合型は、数学の基礎を固めながら、探究や制作で取り組んできたことも生かして志望校を目指せるチャンスです。 問題を解く練習と、結果に至る工夫を説明する練習を並行して進めましょう。

例えば、数検や物理検定の学習、プログラミングやデータ分析のコンテスト、工学分野の制作なら、知識を使って何を試し、どう改善したかまで説明できると、書類や面接の準備にもつながります。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。学力の確認、資格やコンテストへの挑戦、探究の実績づくりから、出願書類・面接まで、自分の関心と志望校に合わせて対策を相談できます。

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