三重県立看護大学の推薦過去問解説｜数学の条件・判別式・期待値を詳解【2027年度】

三重県立看護大学の2026年度学校推薦型選抜の基礎学力検査から、数学の問1(2)〜(4)を解説します。必要十分条件、二次方程式、くじの賞金の期待値という、基礎の理解を確かめる問題です。

公式を覚えているだけでなく、条件や場合分けを正しく読み取ることが大切です。 特にくじの問題では、追加賞金を基本賞金に重ねて受け取れる点を見落とさないようにしましょう。

出典：大学公式・過去問題、2026年度特別選抜の問題PDF、大学公表の解答例PDF。対象は問題PDF9ページ、冊子記載5ページの上記3小問です。同じPDFには複数科目が含まれます。以下は原題の式・条件を再構成したTeX図と、スキルパス作成の独自詳解です。

実問題・問1(2)：「または」と「かつ」の条件

順序対が原点ではない、という意味を確認する

(x,y)が(0,0)ではないということは、xとyの少なくとも一方が0ではない、という意味です。したがって「x≠0またはy≠0」は、求める条件と同じ内容を表しています。Pが成り立てばRが成り立ち、Rが成り立てばPも成り立つため、PはRの必要十分条件です。

ここでの「または」は、両方が0ではない場合も含みます。どちらか片方だけ、という意味に限定しないことが重要です。

「かつ」は、より強い条件になる

Qは、xとyが両方とも0ではないという条件です。このとき(x,y)は確実に原点ではないので、QならばRが成り立ちます。

しかし、例えば(x,y)＝(1,0)なら、Rは成り立つ一方、Qは成り立ちません。Rが成り立つために、両方が0ではないことまでは必要ないからです。したがって、QはRの十分条件ですが、必要条件ではありません。

必要か十分かを迷ったら、矢印の向きを確かめましょう。反例を一つ作れるか考えると、成り立たない向きが見えます。

実問題・問1(3)：判別式で、重解と実数解の有無を分ける

xの係数と定数項を区別する

この式はxについての二次方程式です。x²の係数が1、xの係数が2a、定数項が－a＋2です。判別式Dを作ると、

`D＝(2a)²－4×1×(－a＋2)＝4a²＋4a－8＝4(a＋2)(a－1)`

となります。－4を定数項に掛けるため、aの項がプラスになる点に注意しましょう。

重解なら、判別式は0

`D＝0`より、`(a＋2)(a－1)＝0`です。したがって、重解を持つのはa＝－2、1です。

代入でも確認できます。a＝－2なら方程式はx²－4x＋4＝(x－2)²＝0、a＝1ならx²＋2x＋1＝(x＋1)²＝0です。それぞれ重解になります。

実数解がないなら、判別式は負

`D＜0`より、`(a＋2)(a－1)＜0`となります。二つの因数の符号が異なるのは、－2と1の間なので、実数解を持たない範囲は－2＜a＜1です。

端の値では重解があり、実数解を持たない場合には含まれません。不等号に等号を付けないことまで確認しましょう。

実問題・問1(4)：くじの賞金に、追加賞金を重ねる

基本賞金100円が当たる本数を数える

1から1000までの番号では、下1桁が1のものは100本、8のものも100本です。合計200本なので、100円を受け取る確率は200/1000です。

基本賞金Xの期待値は、`100×200/1000＝20円`です。外れた場合は0円なので、その項を足しても値は変わりません。

38と54は、それぞれ10本ずつある

下2桁が38の番号は38、138、238、……、938の10本です。54も54、154、……、954の10本です。追加賞金500円を受け取る番号は合計20本なので、追加賞金Yの期待値は`500×20/1000＝10円`です。

原題の条件は「38か54」です。38から54までの全ての番号が対象になる、という意味ではありません。数え始める前に条件を確認しましょう。

期待値を足すと、合計30円

合計賞金の期待値は20＋10＝30円です。 期待値の加法性を使うと、基本賞金と追加賞金を分けて計算できます。

この計算には、XとYが独立であるという条件は必要ありません。実際、38で終わる番号では、基本賞金100円と追加賞金500円の両方を受け取ります。この重なりがあっても、合計の期待値は期待値の和になります。

受取額ごとに分けても確認できる

38で終わる10本は600円、54で終わる10本は500円です。基本賞金だけを受け取る番号は、もとの200本から38で終わる10本を除いた190本で、100円になります。それ以外の790本は0円です。

`(600×10＋500×10＋100×190＋0×790)/1000＝30円`

1000本すべてが、重複も抜けもなく分かれています。この方法でも、期待値の和で求めた結果と一致します。

三つの問題に共通する、読み取りと検算

論理の問題は、「または」と「かつ」を区別することが出発点です。判別式では、何を変数とする方程式なのかを確認します。期待値では、同時に受け取れる賞金を、排他的な場合と取り違えないことが必要です。

計算を始める前に条件を整理し、計算後に別の例や別解で確かめる習慣を付けましょう。 答えだけを記入する問題でも、練習では理由まで説明すると、読み落としに気づきやすくなります。

看護系の推薦は、基礎学力と探究の力を示せるチャンス

看護系でも、条件を正確に読み、数値や根拠から判断する基礎が重要です。確率やデータの学習を、地域や健康に関する調査へつなげることで、学びたいことも具体的になります。

理系推薦は、教科の基礎と、自分で調べて考えた実績を示せるチャンスです。 生物や数学の学習、調査・探究に取り組む場合も、結果と、その結果を判断した根拠を整理しておきましょう。

実績づくりと、過去問・志望理由書・面接の対策をつなげて準備しましょう。 スキルパスは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。本人の関心と志望校の課題に合わせて、基礎の理解から説明する力まで、一貫して準備を支えます。

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