宮崎大学の総合型・推薦過去問解説｜工学部の数学8題を解説【2027年度】

宮崎大学工学部の2026年度総合型選抜Ⅰ・学校推薦型選抜Ⅰでは、共通の数学問題が出題されました。有理化から微積分、データ分析まで、高校数学の基本を使う8題です。

理系の総合型・推薦は、基礎学力に加えて、実験や制作で取り組んできたことを伝えられるチャンスです。 筆記の対策と、実績・書類・面接の準備を並行して進めましょう。

以下では各問の数式・条件をTeXで再構成して示し、立式から途中計算、答えの確認まで解説します。

出典：宮崎大学・公式過去問一覧、2026年度工学部・数学の問題、公式解答例。

問題1：計算と命題の基本を確実に

問題の数式・条件

有理化と因数分解

有理化では、分母と分子に同じ数を掛けて、分母の根号を消します。√6＋2に対しては、符号だけが違う√6−2を選ぶと、平方の差が使えます。

(√6−2)/(√6＋2)

＝(√6−2)²/{(√6＋2)(√6−2)}

＝(6−4√6＋4)/(6−4)＝5−2√6

分子は二乗なので、中項−4√6を落とさないことが大切です。

因数分解の小問は、積が12x²と−6になり、中項がxになる組を探します。

12x²＋x−6＝(3x−2)(4x＋3)

最後に展開して、9x−8x＝xとなることを確かめると、符号の誤りを防げます。

連立不等式と対偶

1本目はx−5＜−x＋3より2x＜8、つまりx＜4。2本目は4x＋1≧2x−5より2x≧−6、つまりx≧−3です。連立不等式では、両方を同時に満たす範囲を取るため、答えは−3≦x＜4です。 等号のある端点とない端点を区別してください。

命題「PならばQ」の対偶は、「QでないならばPでない」です。したがって「x＝2ならばx²＝4」の対偶は、「x²≠4ならばx≠2」です。「x²＝4ならばx＝2」は逆であり、x＝−2が反例になるので区別しましょう。

問題2：平方完成からグラフと不等式へ

問題の数式・条件

頂点と切片を求めてグラフを描く

二次の項の係数−1を先にくくると、平方完成の符号を間違えにくくなります。

y＝−(x²−2x)＋1

＝−{(x−1)²−1}＋1＝−(x−1)²＋2

頂点は(1,2)、軸はx＝1です。二次の項の係数が負なので、上に凸、つまり下向きに開く放物線となります。x＝0を代入するとy＝1なので、y軸との交点は(0,1)。軸に関して対称な(2,1)も通ります。

不等式は、x軸より上にある区間を取る

−(x−1)²＋2＞0

(x−1)²＜2より、1−√2＜x＜1＋√2。

境界はx＝1±√2です。不等号は「＞」なので両端を含みません。頂点のx＝1を代入するとy＝2＞0となり、2つの境界の間が答えになることを確認できます。

問題3：平行・垂直の条件を傾きに直す

問題の数式・条件

点と傾きから直線を決める

基準となる直線の傾きは2で、求める直線は点(3,−1)を通ります。

平行な直線は傾きが同じなので、y＋1＝2(x−3)。整理するとy＝2x−7です。

垂直な直線は傾きの積が−1となるため、傾きは−1/2。y＋1＝−(x−3)/2より、y＝−x/2＋1/2です。

どちらもx＝3を代入するとy＝−1になります。また、平行な方は傾き2が一致し、垂直な方は2×(−1/2)＝−1です。点の条件と傾きの条件の両方が満たされています。

問題4：2つの解を直接求めず、和と積を使う

問題の数式・条件

通分した式を、解と係数の関係へつなぐ

2次方程式の解α、βについて、解と係数の関係からα＋β＝−3、αβ＝4です。求める分数式を通分すると、和と積で表せます。

α/(α−1)＋β/(β−1)

＝{2αβ−(α＋β)}/{αβ−(α＋β)＋1}

＝(8＋3)/(4＋3＋1)＝11/8

分母の展開は(α−1)(β−1)＝αβ−α−β＋1です。α＝1やβ＝1では元の分数が定義できませんが、x＝1を元の方程式に代入すると8≠0なので、1は解ではありません。通分後の分母も8となり、ゼロになりません。

対称な式では、個々の解を求める前に、和と積へ整理できないかを考えましょう。 この方程式の判別式は9−16＝−7ですが、複素数の解を具体的に計算せずに答えを出せます。

問題5：余弦定理・正弦定理・面積公式をつなぐ

問題の数式・条件

向かい合う辺と角の対応をそろえる

2辺が9と5、その間の角Aの余弦が7/9という条件です。まず、向かい側の辺BCを余弦定理で求めます。

BC²＝9²＋5²−2×9×5×(7/9)＝36

BC＝6

BCは辺の長さなので、BC²＝36から正の値6を選びます。次に、sin²A＋cos²A＝1からsin²A＝1−49/81＝32/81です。三角形の内角は0＜A＜πなのでsin A＞0となり、sin A＝4√2/9を得ます。

正弦定理では、角Aの向かいの辺BCを使います。

2R＝BC/sin A＝6÷(4√2/9)＝27/(2√2)

R＝27/(4√2)＝27√2/8

面積は、2辺AB・ACとその間の角Aを使って、S＝(1/2)×9×5×(4√2/9)＝10√2です。

外接円の半径を求める式では、右辺がRではなく2Rである点に気をつけてください。

問題6：接点を文字で置いてから接線を決める

問題の数式・条件

微分で接線の傾きを求める

放物線y＝x²の導関数はy′＝2xです。接点を(t,t²)と置くと、その点での傾きは2t。点と傾きから、接線の式はy−t²＝2t(x−t)、つまりy＝2tx−t²です。

点(3,5)を通る条件を代入すると、5＝6t−t²。つまり(t−1)(t−5)＝0です。接点のx座標が小さい方はt＝1なので、指定された接線はy＝2x−1となります。

面積は、上の曲線から下の直線を引く

放物線と接線の差はx²−(2x−1)＝(x−1)²≧0なので、放物線が接線以上にあります。両者が接するx＝1から、指定された直線x＝3まで積分します。

S＝∫₁³ {x²−(2x−1)}dx

＝∫₁³ (x−1)²dx

＝[(x−1)³/3]₁³＝2³/3−0＝8/3

与えられた点(3,5)は接点ではありません。接点を別の文字で置くことが、正しい立式につながります。

問題7：標準偏差と、人数を考慮した平均

問題の数値・条件

平均、分散、標準偏差を順に求める

Aクラスの10人の得点の合計は60なので、平均は60/10＝6です。平均6との差を求め、二乗してから足します。

偏差：0、4、−4、0、−2、0、0、0、2、0

偏差の二乗和＝0＋16＋16＋0＋4＋0＋0＋0＋4＋0＝40

分散＝40/10＝4、標準偏差＝√4＝2

ここでは全生徒の得点を対象としているので、分散の分母は人数10です。標準偏差は分散そのものではなく、その正の平方根となります。

Bクラスの標準偏差は3なので、得点の散らばりが大きいのはBクラスです。平均点の高低と、散らばりの大小は分けて判断します。

全体の平均は、得点合計に戻して計算する

全30人の平均では、Aクラス10人、Bクラス20人という人数を使います。Aの得点合計は10×6＝60、Bは20×5.4＝108です。

全体の平均＝(10×6＋20×5.4)/30＝5.6

2クラスの平均をそのまま足して2で割ると、人数の違いが反映されません。集団を合わせるときは、いったん得点の合計に戻してから、全員の人数で割ることが基本です。

問題8：対数を置き換え、範囲も一緒に変える

問題の数式・条件

対数関数を、範囲の決まった二次関数として考える

log₅xをtと置くと、log₅(x⁴)＝4tなので、関数はy＝t²−4t＋3＝(t−2)²−1となります。

x＞0なので対数の性質を使えます。また、底5は1より大きく、log₅xは単調に増加します。したがってxの範囲1≦x≦125＝5³は、0≦t≦3に変わります。頂点t＝2がこの区間内にあるため、最小値は−1。このときx＝5²＝25です。

最大値は両端を比べます。t＝0では3、t＝3では0なので、最大値は3。このときx＝1です。

置き換えたtの値を、そのままxの答えにしないように注意してください。最後に元の変数へ戻すところまでが解答です。

推薦のチャンスを生かすには、筆記と実績を並行して準備

この過去問では、特殊な知識よりも、基本公式の使い方と条件の読み取りが大切です。解けなかった問題は、単元全体を漠然とやり直す前に、有理化、平方完成、接線、標準偏差など、つまずいた箇所を絞って復習してみましょう。

基本問題を取り切る学力と、工学への関心を裏付ける実績を準備できれば、総合型・推薦で合格を目指すチャンスが広がります。 ただ問題の答えを暗記するだけでなく、接点を文字で置く理由や、人数で重みを付ける理由まで、自分の言葉で説明できる状態を目指しましょう。

実験や制作では、最初に考えた方法、うまくいかなかった点、改善後の結果を記録しておくと、書類や面接で経験を具体的に話しやすくなります。資格やコンテストへの挑戦も、学んだ内容を実験・制作へどう生かしたかまで整理したいところです。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。筆記・口頭試問の考え方から、探究・制作などの実績づくり、志望理由書・面接まで相談できます。「数学はどこを復習すべきか」「工学への関心をどんな活動で深めるか」を、今の状況に合わせて一緒に考えます。

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