東京海洋大学の総合型過去問解説｜海洋工学部の数学4問と途中式【2027年度】

東京海洋大学海洋工学部の2026年度総合型選抜、第2次選抜の課題学習能力試験「数学」では、不等式、二次方程式、指数関数、面積の4問が出ています。

基本的な計算でも、条件を整理し、答えまでの過程を説明する練習が大切です。 公式解答では、解答の正確さに加え、導出過程の記述も採点で考慮すると示されています。4問を順に解説します。

出典：東京海洋大学・2026年度総合型選抜の過去問一覧、海洋工学部・数学の問題、公式解答例。以下は、公式問題・解答例を基にしたスキルパスの解説です。

問1：絶対値を外す場合分け

実際の問題文

解説

扱う不等式は、|6−2x|＜6−xです。絶対値は、中身が0以上ならそのまま、負なら符号を反転して外します。6−2x＝0となるx＝3を境に場合を分けます。

x≦3なら、絶対値を外して6−2x＜6−xとなり、x＞0です。もとの条件と合わせて、0＜x≦3が得られます。

x＞3なら、左辺は−6＋2xです。−6＋2x＜6−xからx＜4となり、3＜x＜4です。

答え：0＜x＜4

例えば前半を計算して「x＞0」と書いただけでは、x≦3という場合分けの条件が抜けます。各場合の条件を合わせ、その後に二つの範囲をまとめてください。

問2(1)：文字を含む二次方程式を因数分解

実際の問題文

解説

方程式は、x²−(2a＋2)x＋a²＋2a＝0です。定数項をa(a＋2)と見れば、二つの根の候補a、a＋2を考えられます。

x²−(2a＋2)x＋a²＋2a＝(x−a)(x−a−2)

解：x＝a、a＋2

右辺を展開すると、x²−{a＋(a＋2)}x＋a(a＋2)です。xの係数が−(2a＋2)、定数項がa²＋2aとなり、元の式に戻ります。積が0になるのはどちらかの因数が0のときなので、二つの解が得られます。

問2(2)：二つの根のどちらかが区間内にある条件

続いて、方程式が0≦x≦1に解を持つための、aの範囲を求めます。

根x＝aが区間内にある条件は、0≦a≦1です。もう一つの根x＝a＋2が区間内にある条件は、0≦a＋2≦1、つまり−2≦a≦−1です。

答え：−2≦a≦−1、または0≦a≦1

少なくとも一つの解が区間に入ればよいので、二つの条件を「または」で合わせます。 両方の根が入る条件と混同しないようにしましょう。

端の値も含むため、a＝−2、−1、0、1を代入し、どちらかの根が0または1になることも確かめられます。

問3：指数を置き換えて最小値を求める

実際の問題文

解説

関数はy＝100ˣ−3・10ˣです。100ˣ＝(10ˣ)²なので、t＝10ˣと置くと、t＞0の範囲で二次関数を考えられます。

y＝t²−3t＝(t−3/2)²−9/4

頂点のt＝3/2は、t＞0を満たします。したがって、最小値は−9/4です。

元のxへ戻すと、10ˣ＝3/2より、x＝log₁₀3−log₁₀2です。問題で与えられた値を使って、x＝0.4771−0.3010＝0.1761となります。

答え：最小値−9/4、そのときx＝0.1761

置き換えた文字の範囲を確認した後、最後に元の文字へ戻すところまでが解答です。 t＝3/2だけで終わると、求められたxの値を示せていません。

問4：交点と上下関係から面積を積分

実際の問題文

解説

a＞0のとき、放物線y＝x²−2xと直線y＝axで囲まれる面積が36になるaを求めます。

交点は、x²−2x＝ax、すなわちx(x−a−2)＝0から、x＝0、a＋2です。a＞0なので、右側の交点はa＋2＞0です。

この間では直線が上、放物線が下です。面積は、上の関数から下の関数を引いて積分します。

面積＝∫₀^(a＋2){ax−(x²−2x)}dx

＝(a＋2)³/6

計算を詳しく追うと、被積分関数は(a＋2)x−x²で、積分後は(a＋2)x²/2−x³/3です。下端x＝0では0、上端x＝a＋2では(a＋2)³/2−(a＋2)³/3となり、係数の差1/2−1/3＝1/6から、面積は(a＋2)³/6です。

これが36なので、(a＋2)³＝216、a＋2＝6からa＝4となります。求めた4は、問題の条件a＞0も満たしています。

符号を確かめたいときは、0＜x＜a＋2で、差がx(a＋2−x)となり、正になることを確認できます。

4問の条件を振り返る

答えを覚えた後は、途中式だけを見て、何のためにその条件を書いたかを説明してみましょう。公式解答と同じ順序で書くことより、根拠を追える答案にすることが大切です。

推薦を合格のチャンスにするために

この試験では、基本的な公式を覚えるだけでなく、条件を踏まえて解き、導出過程を示す力が問われています。学力問題を説明できる力と、探究・資格・コンテストなどの実績を準備することで、理系の総合型・推薦は志望大学に挑戦するチャンスになります。

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