北海道大学の総合型過去問解説｜フロンティア入試・共通数学5題の解き方【2027年度】

北海道大学のフロンティア入試で公開されている2026年度の適性試験・共通数学は、微積分、数列、ベクトル、対数、円と直線の5題です。高校数学の基本事項を、問題の条件に合わせて使えるかが問われています。

総合型選抜の数学でも、変数の範囲や場合分けを説明できることが大切です。 5題それぞれの問題を示したうえで、途中計算と答えの確かめ方を解説します。

出典：北海道大学・フロンティア入試の公式過去問一覧、2026年度適性試験・共通数学、大学公表の解答・出題意図。問題の数式・条件はTeXで再構成し、解説と補助図はスキルパスが作成しています。

問題1：微分した式を代入し、極値から積分区間を決める

(1) y＝x＋4/x²を微分すると、y′＝1−8/x³、y″＝24/x⁴です。ここでx＝0では元の関数が定義されません。x≠0の範囲で、求める式に代入して整理すると、答えは0となります。

代入では、2xy′の項から−16/x²、−2yの項から−8/x²が生じます。符号と係数を保ち、同じ次数の項ごとにまとめるのが計算の要点です。

(2) y＝xⁿの場合は、y′＝nxⁿ⁻¹、y″＝n(n−1)xⁿ⁻²です。したがって、左辺は次の形になります。

{n(n−1)＋2n−2}xⁿ＝(n＋2)(n−1)xⁿ

関数の定義される範囲で恒等的に0になるには、係数が0であることが必要です。(n＋2)(n−1)＝0より、整数nは1と−2です。元のy＝x＋4x⁻²が、この二つのべき関数を組み合わせた形であることも確認できます。

(3) 極値をとるx＝αは、y′＝0からx³＝8、すなわちα＝2です。y″＝24/x⁴はx＝2で正なので、ここでは極小値をとります。積分区間はαからα＋1、つまり2から3です。

原始関数はx²/2−4/xです。上の途中式のとおり、x＝3では19/6、x＝2では0となり、定積分は19/6です。積分の下端へ入れるのは、極小値そのものではなく、極値をとるxの値です。

問題2：階差の和と、誤差の大きさを結び付ける

(1) a₁＝1からaₙまでの変化を足すと、aₙ＝1＋Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2/3ᵏです。n≧2で、和の部分は初項2/3、公比1/3、項数n−1の等比数列となります。

aₙ＝1＋(2/3)×{1−(1/3)ⁿ⁻¹}/(1−1/3)＝2−(1/3)ⁿ⁻¹

n＝1でも右辺は1となるため、この式が初項を含む一般項です。

(2) 0＜1/3＜1なので、nを大きくすると(1/3)ⁿ⁻¹は0に近づきます。したがって、極限値αは2です。

(3) 極限値との差の絶対値は、|aₙ−2|＝(1/3)ⁿ⁻¹です。これが10⁻²より小さい条件は、3ⁿ⁻¹＞100です。3⁴＝81、3⁵＝243より、n−1の最小値は5、求めるnは6となります。

一つ前のn＝5では誤差が1/81で0.01より大きく、n＝6では1/243で0.01より小さくなります。「極限が2」と答えるだけでなく、必要な精度へ届く最初の項まで確かめましょう。

問題3：ベクトルと座標を行き来する

(1) AC：CB＝1：2なので、Cの座標は(2A＋B)/3です。x座標は(2×1＋4)/3＝2、y座標は(2×2−1)/3＝1となり、C(2,1)です。内分点の式では、A側に反対側の比2が掛かることを確かめてください。

(2) ABの傾きは(−1−2)/(4−1)＝−1です。これに垂直な直線の傾きは1で、Cを通ることからy−1＝x−2、すなわちy＝x−1です。

直線OBは、原点とB(4,−1)を通るのでy＝−x/4です。両者を連立し、x−1＝−x/4からx＝4/5、y＝−1/5となります。したがってD(4/5,−1/5)です。

(3) OAの傾きは2なので、Dを通りOAと平行な直線はy＋1/5＝2(x−4/5)、すなわちy＝2x−9/5です。ABの式y＝−x＋3と連立すると、E(8/5,7/5)となります。

ここで、ベクトルOE＝uOA＋vOBとおきます。x座標とy座標をそれぞれ比較すると、u＋4v＝8/5、2u−v＝7/5です。連立方程式を解いてu＝4/5、v＝1/5となるため、答えは次のとおりです。

ベクトルOE＝(4/5)ベクトルOA＋(1/5)ベクトルOB

係数の和が1なので、Eが直線AB上にあることとも一致します。交点Eの座標だけで終わらず、設問で指定されたベクトルの形へ戻すところまでが解答です。

問題4：対数の底が1より大きいかで場合分け

底xの条件は、x＞0かつx≠1です。(1) logₓ2＝2を指数の形へ直すとx²＝2です。底は正なので、答えはx＝√2となります。

(2) logₓ2＞2では、0＜x＜1の場合、logₓ2が負となるため、2より大きくなることはありません。x＞1なら対数関数が増加するので、2＞x²と同値です。底の条件と合わせて1＜x＜√2が答えです。

(3) まず真数を確認すると、2x²−5x＋6＝2(x−5/4)²＋23/8であり、すべての実数xに対して正です。続いて、右辺の2をlogₓ(x²)とみなして比較します。

x＞1では増加関数なので、2x²−5x＋6＞x²です。移項して(x−2)(x−3)＞0となり、x＜2またはx＞3を得ます。底の条件x＞1との共通範囲は、1＜x＜2またはx＞3です。

0＜x＜1では減少関数なので、不等号が逆になります。必要なのは2x²−5x＋6＜x²、すなわち(x−2)(x−3)＜0です。この解は2＜x＜3となり、0＜x＜1との共通範囲はありません。

したがって、(3)の答えは1＜x＜2または3＜xです。x＝2、3では等号になるため含めません。真数条件と底の条件を先に確認し、底が1より小さい場合の不等号を落とさないことが大切です。

問題5：円の標準形から、接する条件と交わる条件へ

(1) x²＋y²−4x−6y＋9＝0を平方完成すると、(x−2)²＋(y−3)²＝4です。中心は(2,3)、半径は2となります。

(2) a＝3/4のとき、直線は3x−4y＋4b＝0です。円に接する条件は、中心から直線までの距離が半径2に等しいことです。距離の公式へ中心の座標を入れると、|4b−6|/5＝2となります。

絶対値の中が10と−10になる二つの場合を解き、b＝4、−1です。一方だけを求めて終わらないようにしましょう。

(3) b＝0では直線がy＝axです。円の式へ代入すると、(1＋a²)x²−(4＋6a)x＋9＝0となります。1＋a²は必ず正なので、すべての実数aについてxの2次方程式です。

異なる2個の共有点を持つ条件は、この2次方程式が異なる2実根を持つことです。判別式は(4＋6a)²−36(1＋a²)＝48a−20なので、48a−20＞0からa＞5/12となります。各xに対してy＝axが一つ定まるため、異なる2実根は異なる2交点に対応します。

接するときは判別式が0です。今回は相異なる2点で交わる条件なので、a＝5/12を含めません。

学力と実績の両方を、自分の言葉で説明できるように

今回の共通数学は、微分・等比数列・直線の式など、高校数学の基本を組み合わせた問題です。答え合わせの後は、変形の理由や条件の確認まで、白紙から説明し直してみましょう。

数検や統計検定への挑戦、探究で測定値や誤差を扱った経験も、数式の意味を説明する練習につながります。実績を振り返るときは、結果に加えて、どの方法を選び、何を確かめたかを整理してください。

理系の総合型選抜は、基礎学力と、探究や資格・コンテストで積んだ経験を生かして志望校を目指せるチャンスです。 過去問の対策と、自分の取り組みを説明する準備を並行して進めましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。理系の学力対策、資格・コンテストへの挑戦、実績づくりから、出願書類・面接まで、志望分野に合わせた準備を相談できます。

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