東北大学の総合型過去問解説｜工学部AOⅡ期・数学の解き方【2027年度】

東北大学工学部のAO入試Ⅱ期は、基礎知識を使いながら、条件を整理して考えを進める力が問われます。2026年度の筆記試験①では、関数の最大・最小、整数の数え上げ、ベクトル、積分と極限が出題されました。

総合型でも、計算結果だけに頼らず、なぜその方法で求められるかを説明する準備が必要です。 大学公開の問題集に掲載された、工学部AOⅡ期の数学3題を解説します。

出典：東北大学・AO入試過去問題の公式一覧、2026年度AO入試問題集・工学部。以下は同問題集の筆記試験①、冊子4〜6ページの数学の解説です。

各問の数式・条件をTeXで再構成して示しています。解答・解説はスキルパスが作成したもので、東北大学が公表した解答ではありません。

問題1(1)：三角関数を、範囲のある変数に置き換える

問題1の数式・条件

問題1は独立した3小問です。まず、(cos 2x＋3)/(2cos x＋3)の最大・最小を考えます。t＝cos xと置き、cos 2x＝2cos²x−1＝2t²−1を使うと、次の関数になります。

F(t)＝(2t²＋2)/(2t＋3)、−1≦t≦1

cos xは−1から1までの全ての値を取るので、−1≦t≦1全体で考えます。この範囲では2t＋3≧1となり、分母はゼロになりません。商の微分から、

F′(t)＝{4t(2t＋3)−2(2t²＋2)}/(2t＋3)²

F′(t)＝4(t²＋3t−1)/(2t＋3)²

を得ます。導関数の分母は正なので、符号はt²＋3t−1で決まります。これが0となる2つの値は(−3±√13)/2。そのうち区間内にあるα＝(−3＋√13)/2だけを使います。−1≦t＜αで減少し、α＜t≦1で増加します。

α²＋3α−1＝0よりα²＝1−3αです。この関係を使うと、2α(2α＋3)＝4α²＋6α＝4−6α＝2α²＋2なので、F(α)＝2α＝√13−3と求められます。

端点も含めて比べ、最大値は4、最小値は√13−3です。 導関数が0となる点の値だけで最大・最小を決めないことが大切です。

置き換えでは、式と一緒に変数の範囲も書くことが大切です。 tをすべての実数として考えると、別の問題になってしまいます。

問題1(2)：近似値を使わず、大小を証明

設問は、上の問題1の2番目です。

eの1/100乗と101/100を比べる問題です。小数の近似を計算するよりも、指数関数と接線の関係に着目できます。

h(t)＝eᵗ−1−tとおくと、h(0)＝0で、t＞0ではh′(t)＝eᵗ−1＞0。したがって、t＞0でeᵗ＞1＋tです。

t＝1/100を代入すると、e^(1/100)＞1＋1/100＝101/100となります。t＞0のときに不等号が厳密に「＞」になるため、等しい可能性も残りません。

「非常に近い数だから、電卓で比べる」という発想から、差の符号を関数の増減で説明する発想へ切り替えたい問題です。

問題1(3)：5桁の整数は、繰り返す数字で分類

設問は、上の問題1の3番目です。

56789より小さい5桁の正の整数のうち、同じ数字がちょうど4個現れるものを数えます。4回現れる数字をd、残りの数字をeとし、d≠eとして分類すると、重複を防げます。

d＝5を詳しく見てみましょう。eが2桁目なら、50・51・52・53・54・56で始まる6通りが条件を満たします。eが3〜5桁目なら、2桁目が5なので、各位置で9通り、合計27通り。eが先頭なら1〜4の4通りです。したがって6＋27＋4＝37通りです。

d＝1〜4の場合、先頭がdなら上限を超えず、残り4か所からeの位置を選び、その数字をd以外の9通りから選べるので36通りです。eが先頭の場合は、1〜5のうちdを除く4通り。合わせて各40通りとなります。

d＝6では、eが先頭の1〜5なら条件を満たします。特に56666は56789より小さいため含みます。d＝7〜9では、先頭に5を置くと57777以上になるため、eは1〜4に限られます。d＝0は先頭をeにするしかなく、10000〜50000の5通りです。

全体では、5＋4×40＋37＋5＋3×4＝219個です。

数え上げでは、先頭が0にならない条件と、上限の56789を超えない条件を、別々に確認してください。

問題2：ベクトルの係数を座標として読む

問題の数式・条件

OP＝sOA＋tOBと表される点Pの存在範囲を考えます。三角形OABなので、OAとOBは平行ではありません。2方向を基準にすれば、係数(s,t)は点Pを一意に表し、係数平面の直線・領域を元の平面へ対応させられます。

(1) 条件が等式の場合

s＋2t＝2からs＝2−2tです。代入すると、OP＝2OA＋t(OB−2OA)となります。

t＝0ならOP＝2OA、t＝1ならOP＝OBです。tはすべての実数を動くので、Pの存在範囲は、位置ベクトル2OAの点と点Bを通る直線全体です。s、tが実数である以上、線分だけに限定されません。

(2) 不等式が重なる場合

s≧0、t≧0、s＋2t≧2、2s＋3t≦6を、まず(s,t)平面で考えます。第1象限で2本の直線にはさまれた領域となり、頂点は次の4点です。

(s,t)＝(2,0)、(3,0)、(0,2)、(0,1)

これらは元の平面では、それぞれ位置ベクトル2OA、3OA、2OB、OBの点に対応します。求める範囲は、この4点を頂点とする四角形の内部と周です。

例えばt＝0では、s＋2t≧2と2s＋3t≦6から2≦s≦3です。s＝0では1≦t≦2となります。2本の斜めの直線同士は第1象限内で交わらず、これらの軸上の区間を結ぶ四角形になります。不等号に等号が含まれているので、境界も全て含みます。

(3) s＋tの最大・最小

頂点で比べると、s＋tは順に2、3、2、1となります。最大値は3で(s,t)＝(3,0)、最小値は1で(s,t)＝(0,1)です。

不等式から直接確かめる場合、t≧0より2(s＋t)≦2s＋3t≦6なので、s＋t≦3です。一方、s≧0より2(s＋t)＝s＋(s＋2t)≧0＋2なので、s＋t≧1となります。(3,0)と(0,1)はどちらも元の4条件を満たすため、この上下の限界を実際に達成できます。

問題3：積の極限は、対数で和に直す

問題の数式・条件

(1) 定積分

ここでlogは自然対数です。u＝x＋1と置くと、積分区間は1から2に変わります。部分積分により、∫log u du＝u log u−∫u×(1/u)du＝u log u−uです。元の変数へ戻すと、

∫₀¹ log(x＋1)dx

＝［(x＋1)log(x＋1)−(x＋1)］₀¹

＝2log 2−1

となります。下端x＝0で原始関数は−1となるので、上端の値2log 2−2から引くとき、符号を落とさないようにしましょう。

(2) 積から区分求積へ

aₙ＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)に対して、n乗根aₙをnで割った値の極限を求めます。積にはn個の因子があるため、aₙ/nⁿ＝∏ₖ₌₁ⁿ(1＋k/n)です。bₙ＝aₙ^(1/n)/nと置くとbₙ＞0なので、対数を取れます。

log bₙ＝(1/n)log aₙ−log n

＝(1/n)Σₖ₌₁ⁿ{log(n＋k)−log n}

＝(1/n)Σₖ₌₁ⁿ log(1＋k/n)

ここでΔx＝1/n、各小区間の右端をxₖ＝k/nと見ると、右辺はΣlog(1＋xₖ)Δxです。log(1＋x)は区間[0,1]で連続なので、この和は(1)の積分に収束します。したがってlog bₙ→2log 2−1です。

指数関数は連続なので、bₙ＝e^(log bₙ)→e^(2log 2−1)＝4/eです。求める対象はlog bₙではなくbₙなので、最後に指数関数へ戻すところまで書きましょう。

最初の小問が、後の小問で使う道具を用意していることがあります。 大問を通して、同じ関数や計算がどこに再登場するかを意識すると、解法の手掛かりになります。

総合型のチャンスを、学力と実績の両方で生かす

この数学では、条件の読み落としを防ぐこと、場合分けの根拠を示すこと、別の形へ変換して考えることが大切です。解答を見て分かった問題も、白紙から自分で説明し直してみましょう。

理系の総合型・推薦は、基礎学力に加え、探究や制作で積み重ねた実績を伝えられるチャンスです。 だからこそ、筆記と活動の準備を並行して進めることが大切です。数学では場合分けや式変形の理由を、探究ではテーマを選んだ理由や改善の過程を、自分の言葉で説明できる状態を目指しましょう。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。筆記・口頭試問の考え方から、探究・制作などの実績づくり、志望理由書・面接まで相談できます。難しい問題の答えだけを覚えるのではなく、「どの知識を使い、なぜその方針を選ぶのか」まで、一緒に確認できます。

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