筑波大学の推薦入試過去問解説｜物理学類のばね・エネルギーとグラフ【2027年度】

筑波大学の2026年度推薦入試・理工学群物理学類では、2本のばねにつながれた物体の運動が出題されました。つり合いの位置を求めた後、エネルギー保存を使い、位置と速度の関係を図で説明する問題です。

式を求めるだけでなく、その式が表す運動を説明できることが重要です。 ここでは問題Ⅰの設問1〜7を、力の図から順に解説します。

出典：筑波大学・令和8年度入試問題の公式一覧、推薦入試・物理学類の問題、大学公表の出題意図。大学公表の出題意図を踏まえ、以下では問題Ⅰの解法を示します。

問題Ⅰの数式・条件と、設問1〜7

以下の設定図・解答図と数式の導出はスキルパス作成です。問題Ⅱの電磁気は、この記事の対象に含めていません。

条件整理：左右のばねの伸びを、同じ座標で表す

壁の間隔は2L、ばねの自然長はどちらもℓです。壁の中点を原点、右向きを正として物体の位置をxとします。左のばね定数をk_L、右をk_R、物体の質量をmと表します。

計算を見やすくするため、δ＝L−ℓ、K＝k_L＋k_Rとおきます。左右のばねの長さと自然長からの変化は、次のようになります。

左のばねが伸びていると物体を左へ引くため、右向きを正とした力は−k_L(δ＋x)です。右のばねは伸びていると右へ引くため、k_R(δ−x)となります。縮んでいる場合も、伸びの符号が負になることで押す向きを表せます。

したがって合力は、F＝−k_L(δ＋x)＋k_R(δ−x)＝(k_R−k_L)δ−Kxです。

「どちらのばねも、物体を原点へ戻す」と決めつけず、各ばねの自然長と力の向きを確認しましょう。 ばね定数が異なる場合、つり合いの位置が原点になるとは限りません。

設問1：つり合いの位置は、合力が0の点

つり合いの位置をx₀とすると、F＝0から次の式が得られます。

x₀＝(k_R−k_L)(L−ℓ)/(k_L＋k_R)

設問1の3つの場合への答えは、次のように整理できます。この段階では、k_R＞k_Lという条件はまだありません。

後の2つは同じ一般式ですが、L−ℓの符号が逆になります。例えばk_R＞k_Lなら、ばねが伸びたL＞ℓの設定では右側へ、縮んだL＜ℓの設定では左側へつり合いの位置がずれます。左右のばね定数が等しい場合は、どの場合もx₀＝0です。

設問2・3：弾性エネルギーの最小点も、つり合いの位置

弾性エネルギーは、ばねの伸びの2乗に比例します。縮んでいる場合も、伸びを符号付きで表して2乗すれば計算できます。

U_L＝k_L(δ＋x)²/2

U_R＝k_R(δ−x)²/2

合計U＝U_L＋U_Rを展開すると、xの2次関数になります。

U＝Kx²/2＋(k_L−k_R)δx＋Kδ²/2

＝K(x−x₀)²/2＋2k_Lk_Rδ²/K

K＝k_L＋k_R＞0なので、二乗の項が0となるx＝x₀で最小です。設問1のつり合いの位置と一致します。また、右辺の定数はxに依存しないので、エネルギー差を計算するときには消えます。力を−dU/dxから求めても、−K(x−x₀)となり、先ほどの合力と一致します。

設問4：位置の両端と、原点を通るときの速度

ここからはL＞ℓ、k_R＞k_Lという条件です。左のばねが自然長になる位置で、物体を静かに放します。

左の伸びδ＋xが0なので、出発位置はx＝−δです。このとき右のばねの伸びは2δで、初めの力学的エネルギーは2k_Rδ²となります。

位置の最小値・最大値を求める

静かに放すので初速度は0です。後の折り返し点でも速度は0になるため、出発点と同じ位置エネルギーを持ちます。Uはx₀を軸とする二次関数なので、2つの折り返し点はx₀を中心に対称です。

出発位置−δはx₀より左にあります。したがって、

x_min＝−δ＝−(L−ℓ)

x_max＝2x₀＋δ＝(3k_R−k_L)(L−ℓ)/(k_L＋k_R)

です。左端を「左の壁」と考えず、エネルギーから折り返し位置を決めることが大切です。

原点では、位置エネルギーの差が運動エネルギーになる

原点では、両方のばねの伸びがδです。そこでのエネルギー保存は、次の式です。

mv²/2＋(k_L＋k_R)δ²/2＝2k_Rδ²

整理すると、v²＝(3k_R−k_L)δ²/m。したがって、原点を通る速度は次の2つです。

v＝±(L−ℓ)√{(3k_R−k_L)/m}

最初に原点を通るときは右向きなので正、戻るときは左向きなので負です。エネルギー保存で直接分かるのは速さです。速度の符号は、運動の向きから判断する必要があります。

設問5：位置xと速度vのグラフは、中心がずれた楕円

合力はF＝−K(x−x₀)と表せるため、物体はx₀を中心に単振動します。角振動数はω＝√(K/m)です。

出発位置−δからつり合いの位置までの距離が振幅Aなので、A＝x₀＋δ＝2k_Rδ/Kとなります。設問4で得た左右の端は、次の位置です。

x_min＝−δ

x_max＝x₀＋A＝(3k_R−k_L)δ/K

初期位置ではつり合いからの変位が−A、速度が0です。エネルギーの定数項を両辺から引くと、mv²/2＋K(x−x₀)²/2＝KA²/2です。KA²/2で割ることで、

(x−x₀)²/A²＋v²/(ωA)²＝1

という楕円の式を得ます。x-v平面での中心は(x₀,0)です。原点を中心に描いてしまうと、左右のばね定数が違うという条件が反映されません。

出発点は楕円の左端で、速度は0です。放した後は右へ動くため、v＞0の上半分を通って右端へ向かいます。右端からはv＜0の下半分を通って左端へ戻ります。

速さが最大になるのは、弾性エネルギーが最小となるx＝x₀のときです。最大の速さはωA＝2k_Rδ/√(mK)。グラフでは楕円の一番上と一番下に対応します。x₀＞0なので、原点を通るときと、速さが最大になるときは異なります。

設問6：放す位置を変えると、中心が同じ楕円が並ぶ

位置x＝qから静かに放すと、振幅はA_q＝|q−x₀|です。ばね定数と質量は同じなので、角振動数ωは変わりません。

したがって、楕円の中心は(x₀,0)のままで、横幅も縦幅も振幅に比例して変わります。図の灰色の破線は、振幅が小さい場合の模式図です。

つり合いの位置で静かに放した場合は動かないため、グラフは中心の1点になります。

設問7：楕円は、同じ力学的エネルギーを持つ状態の集まり

位置が変わると弾性エネルギーが変わり、速度が変わると運動エネルギーが変わります。ただし、この問題では摩擦がないため、両者の合計は一定です。

E＝mv²/2＋U_L＋U_R

1つの楕円は、このEが同じになる位置と速度の組を集めたものです。式で書けば、E＝2k_Lk_Rδ²/K＋KA_q²/2。中心での位置エネルギーは共通なので、大きい楕円ほど振幅A_qが大きく、力学的エネルギーも大きくなります。「位置エネルギーだけ」「速度だけ」の等高線ではなく、運動エネルギーも合わせた全体の等高線です。

推薦のチャンスを、物理の理解と実験の実績で生かす

この問題Ⅰでは、フックの法則、弾性エネルギー、エネルギー保存、単振動がつながっています。それぞれの公式を覚えるだけでなく、同じ運動を力・エネルギー・グラフの3つの見方で説明する練習が有効です。

理系の推薦は、基礎学力と、探究・実験で深めた関心を伝えられるチャンスです。 ばねの定数や質量を変えたときに振動がどう変化するか、予想と測定結果をどう比べるか。こうした考え方を、自分の実験や活動でも説明できると、学びへの関心が具体的になります。

スキルパスでは、現役の理系大学院生や大学教員が指導。物理の式やグラフを説明する練習から、探究・実験などの実績づくり、志望理由書・面接まで相談できます。筆記の理解と、活動で得た経験の整理を、志望分野に合わせて一緒に進められます。

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